【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习专题6解析几何第4讲圆锥曲线中的综合问题理资料.doc

第4讲　圆锥曲线中的综合问题 圆锥曲线中的最值与范围问题 训练提示:求解最值与范围问题的关键是寻找目标函数或关系式,将所求量转化求解. 1.已知圆M:(x+a)2+y2=16a2(a0)及定点N(a,0),点P是圆M上的动点,点G在MP上,且满足|GP|=|GN|,G点的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)若点A(1,0)关于直线x+y-t=0(t0)的对称点在曲线C上,求a的取值范围. 解:(1)设G(x,y), 因为|PG|+|GM|=4a,且|PG|=|GN|, 所以|GM|+|GN|=4a2a, 由椭圆定义得,曲线C的方程为+=1. (2)设A(1,0)关于直线x+y-t=0(t0)的对称点为 A′(m,n), 则 所以所以A′(t,t-1), 因为A′(t,t-1)在曲线C:+=1上, 所以t2+4(t-1)2=4a2, 化简得5t2-8t+4-4a2=0(t0), 因为此方程有正根, 令f(t)=5t2-8t+4-4a2, 其图象的对称轴为t=0, 所以Δ=(-8)2-4×5(4-4a2)≥0, 所以a≥或a≤-, 因为a0, 所以a的取值范围为[,+∞). 2.已知抛物线C:x2=4y,F为其焦点. (1)设P为直线l:x-y-2=0上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程; (2)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值. 解:(1)抛物线C的方程为x2=4y, 即y=x2,求导得y′=x. 设A(x1,y1),B(x2,y2)(其中y1=,y2=), 则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2. 所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1), 即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0. 同理,可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0. 因为切线PA,PB均过点P(x0,y0), 所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0. 所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解. 故直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0. (2)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1, 所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1. 联立方程 消去x整理得y2+(2y0-)y+=0, 由根与系数的关系可得y1+y2=-2y0,y1y2=, 所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=+-2y0+1. 又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2. 所以+-2y0+1=2+2y0+5=2(y0+)2+. 所以当y0=-时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为. 圆锥曲线中的定点、定值问题 训练提示:由直线方程确定定点,若得到直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m). 证明定值,有时可直接证明定值,有时将问题转化为代数式,可证明该代数式与参数(某些变量)无关;也可令系数等于零,得出定值. 3.已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程; (2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点. 解:如图所示,设动圆圆心O1(x,y), 由题意,|O1A|=|O1M|, 当O1不在y轴上时, 过O1作O1H⊥MN交MN于H, 则H是MN的中点, 所以|O1M|=, 又|O1A|=, 所以=, 化简得y2=8x(x≠0). 又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x, 所以动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x. 证明:如图,由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k≠0), P(x1,y1),Q(x2,y2), 将y=kx+b代入y2=8x中,得k2x2+(2bk-8)x+b2=0, 其中Δ=-32kb+640. 由根与系数的关系得,x1+x2=,① x1x2=,② 因为x轴是∠PBQ的角平分线, 所以=-, 即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0, (kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0, 2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③ 将①②代入③,并整理得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0, 所以k=-b,此时Δ0, 所以直线l的方程为y=k(x-1), 所以直线l过定点(1,0). 4.已知直线l:y=x+,圆O:x2+y2=5,椭圆E:+=1(ab0)的离心率e=,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等. (1)求椭圆E的方程; (2