微积分09930.ppt

从而可得 时, 也有 则函数 在 处必连续. 定理3 若函数 在点 处可微, 则函数 的偏导数必存在，且其全微分为 在 处 证 因为 z = ?(x, y)在点(x, y)处可微， 则对点(x, y)的某个邻域 特别地，当 时, 即为 内的任意一点 , 均有 * * * §1.3 偏导数和全微分 一. 偏导数的概念及计算 二. 高阶偏导数的概念及计算 三. 全微分 §1.3 偏导数和全微分 在研究一元函数时, 已经看到了函数关于自变量的变化率(导 数)的重要性. 对于二元函数也同样有一个处于重要地位的函数 变化率问题. 因二元函数有两个自变量, 且这两个自变量是彼此 无关的, 故可考虑函数关于其中的一个自变量的变化率, 此时将 另一个自变量看作不变, 这种变化率称之为偏导数. 一.偏导数的概念及计算 1.偏导数的定义 则称 x 在 x0 处取得改变量?x且 y = y0保持 不变时, 函数 z 的改 同样可将 记为 有定义, 设函数 在点 定义1 的某个邻域内 称为函数 在 处对 x 的偏增量, 亦可 变量 ● ● y △y △x x X+△x 在上述意义下, 把x、y在 处同时取得改变量 记为 处的全增量, 亦可记为??. 定义, 处对 y的偏增量, 亦可 称为函数 在 称为函数 在 设函数 在点 定义2 的某个邻域内有 时, 函数 z 的改变量 若极限 ● ● x y X+△x Y+△y 偏导数,并记为 偏导数, 并记为 同理若极限 存在，则称此极限值为 函数 在点 存在，则称此极限值为 函数 在点 处对x的 处对 y 的 2. 偏导数的几何意义 y = y0上的方程. 故偏导数 的几何意义: “曲面与平面的交线在点 处, 沿 x 轴方向的切线 L1 的斜率” (如图). 是曲面 与平面 y= y0 的交线在平面 如果函数 平区域 D 内每点(x, y)处对 x (或 y)的偏导数存在, 则称函数 在 D 内有对 x (或 y)的偏导函数, 简称偏导数, 记作 3.偏导数的计算 由偏导数的定义知： 用一元函数的求导法则对 x 求导； 成常数， 成常数, 用一元函数的求导法则对 y 求导. (1) 要求函数 对自变量 x 的偏导数, 只须将自变量 y看 (2) 要求函数 对自变量y的偏导数, 只须将自变量x看 (3)二元函数偏导数的概念与计算可推广到二元以上的函数. 解 例1 求函数 在点(1, 0)处的偏导数. 偏导数的计算 [解] [解] 应用幂函数求导公式 应用指数函数求导公式 例2 求下列函数的偏导数: 两边对x求导 两边对y求导 两边对z求导 解 0 x y z 而 例3 解 4.多元函数的偏导数与连续性之间的关系 多元函数的偏导数与连续性之间的关系, 与一元函数的可导 与连续的关系, 有着本质的区: 一元函数有“可导必连续”的性质； 但在二元函数中, 例4 在某点的两个偏导数 “若函数 其值随 k 而变, 则 解 但此函数对变量 x (而变量y的值固定) 或y(而变量x的值固定) 却是连续的. 实际上 故函数 对变量 x 是连续的. 同理可证函数 对变量 y 是连的. 函数f(x,y) 却是连续的. 而且当( x,y) 不是原点时， 一般说来还是 x, y 的二元函数. 二.高阶偏导数的概念及计算 函数z=?(x,y)的偏导数 如果这两个偏导函数对自变量 x和y 的偏导数还存在，则称这些 偏导数为?(x, y)的二阶偏导数. 依照对变量求导的先后不同次序 ，共有下列四个二阶偏导数： 仿此还可定义比二元函数更高阶的偏导数. 如 注1 此例中两个二阶的混合偏导数是相等的，即 解 例5 在区域D内连续, 则在该区域内的每一点上这两个混合偏 导数都相等, 即 注2 此定理告诉我们二阶混合偏导数在连续的条件下与求导 的次序无关 . 定理1 如果函数 的两个二阶的