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变分原理 变分是力学分析中的数学工具 变分原理主要应用于： 有限元、能量法、加权残值法 李兹法在有限元中的应用 自变函数的变分 是x的函数，可以 对x求导： 同理： 利用变分运算规律可知： 梁结构的应变能： 或 则称： 泛函在曲线 上达到极大或极小值。 称该极大值或极小值为泛函的极值。 5. 泛函的极值问题 泛函极值的概念 泛函极值求解的数学含义 例题：求连接该两点的最短曲线长度L X Y P1 P2 该问题可表示为求泛函 在边界条件： 下为极值的函数 设：正确解为y（x）， y1（x）为接近于y（x）的任意函数 其中 为满足边界条件的接近于 的变分。 显然 在边界上等于零 Y P1 P2 x1 x2 泛函增量： 利用泰勒级数展开： 泛函实现极值的条件： 一阶变分 二阶变分 下面对上述表达式进行讨论看看泛函求极值 条件的数学含义，也就是它可以成为什么样 的数学表达式。 所以我们要分析积分号内的每一项 首先看第一项 对于一般泛函F，且F与y及y’有关。此时泛函的一阶变分函数 也是y和其导数y’的函数，此时： 泛函的变分只与y和y’的变分有关，所以有 在x=x1，x=x2 当给定边界条件时 称此边界条件为基本边界条件 当没给出基本条件时， 在x=x1，x=x2 时 不等于零 该项为边界条件式 则 的条件要求在边界处必须 这一边界条件称之为自然边界条件 在弹性力学问题当中： 基本边界条件： 自然边界条件： 位移及转动角度； 力及弯矩。 通过上述分析：若要求解泛函达到极值的函数 实际上就是求解 即通过求解该微分方程，就可得到使泛函 达到极值的y=y（x） 由此可见这个微分方程式的边值问题等价于 泛函 的极值问题 欧拉方程 回顾内容： 泛函的极值问题 在边界条件： 一阶变分 泛函求极值的条件 转化为： 举例说明求解使泛函达到极值的函数的解题思路 （1）设F不依赖y仅是y’的泛函 以连接两点的最短曲线长度为例： 仅含有y’ 不定积分 A、B待定参数有边界条件给出。 直线方程 此时， 该泛函有极小值 我们通过泛函求极值的方法求出的自变 函数必须要使得泛函在一定范围内有意 义，同时还要满足边界条件，显然例题的边 界条件很容易满足。 其它几种情况下泛函求极值问题——欧拉方程 ① 泛函含有两阶导数的一维函数 边界条件： 一阶变分： 对第二项进行一次分布积分 对第三项进行二次分布积分 考虑边界条件 得欧拉方程： 与上式比较：多一个全微分项 当包含有几阶导数的泛函积分方程式，则 欧拉方程将含有更高一阶的导数 这是函数y（x）的2n阶微分方程式，2n个 未知常数，由2n个边界条件确定。 称之为：欧拉—泊桑公式 例：利用变分求极值的转换关系，求解 弹性基础梁位能泛函式的欧拉方程。 y x l q 位能： n=2 边界条件 ②含一阶导数的二维泛函的欧拉方程 自变函数： 边界c上： 已知， 一阶变分： 利用格林公式进行分布积分 高斯定理及格林公式 二维、三维高斯定理： 二维： 三维： 或： 格林公式： 二维问题： 欧拉方程： * 船舶计算结构力学 重要内容 变分原理在结构中的应用 加权残值法 有限元的基本概念 ①空间杆、梁单元 平面问题有限元 空间问题有限元 ②空间连续体常用单元 ③薄板弯曲有限单元 组合船体结构分析 也可以说： 变分是结构数值计算的基础，没有变分 这一数学工具就没有计算结构力学 1.1 变分的基本概念 ① 泛函的概念 举例1：平面上两个给定点： 连接该两点的曲线的长度L P1（X1，Y1）、P2（X2，Y2） 函数论：自变量、函数 变分原理：自变函数、泛函 X Y P1 显然连接P1、P2的曲线有无数条 设: 曲线方程 Y=Y（X） P2 显然：曲线方程不同对应不同的长度L， 可以说： 曲线长度L是曲线y= y（x）的函数 这种函数的函数就称之为泛函。 记作： 显然：当取不同函数Y对应有不同的泛函值 举例2：弹性基础梁 y x l 位能： Π=梁的变形能+弹性基础的变形能-力函数 梁的变形能 弹性基础的变形能 力函数 结构总位能： 自变函数 范函 求解该结构的问题可以描述为： 找一个函数 使得它满足边界条件并 结构总位能达到最小值。 在区间： ② 泛函极值 函数有极值，那么泛函同样有极值。 上述问题连接P1、P2两点函数很多， 有很多的泛函值，然而其中最短的只 有一个，这就是泛函的极小值。 若问题为求解连接两点距离最短的曲线方程 这就是求泛函极值的问题。 ③ 变分 研究泛函极值的方法就是变分法 而我们过去是利用微分学来研究函数的极值 问题的。 研究函数的极值的方法就是微分法 举例：最速降线问题 平面两点：