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发掘对称性 快速巧求解 安徽省灵璧县黄湾中学（234213） 华腾飞 Gao_shu_xue@163.com 数学中存在着大量对称的形与式，不过有些问题中的对称性是比较隐蔽的，在求解相关的问题时，如果能够注意寻觅和发掘或通过变形构造出对称关系，则可以收到事半功倍的效果，达到快速简捷求解的目的。下面举例说明，相信会对同学们有所启迪。 例1 设A、B两点是圆心都在直线3x-2y+5 = 0上的两个相交圆的交点，并且点A的坐标为（-4, 5），求点B的坐标。 解析 乍一看本题似乎缺少条件，无法求解。如果我们仔细分析就会发现题中隐含的对称性，这样问题便可迅速获解。 如图1，设B点的坐标为(x, y)，则由题设可知AB垂直于直线3x-2y+5 = 0。又点A的坐标为(-4, 5)，所以直线AB的方程为y-5 =。 解方程组 得直线AB与直线3x-2y+5 = 0的交点坐标为（, ）。 由对称性知，（, ）为AB的中点，于是可得B点的坐标为（, ）。 例2 四边形ABCD面积为S，求证：S≤。 解析 三角形面积不大于其任意两边之积的一半，观察不等式的右边可想到，如果能够把AB、AD（或BC、CD）调换位置，则结论很容易证明。 如图2，以BD的中垂线为轴作△BCD的对称图形△BC1D，则有： ≥ 。 例3 设有一直角QOP，试在OP边上求一点A，在OQ边上求一点B，在直角内求一点C，使BC + CA等于定长L，且使四边形ACBO的面积最大。 简析 如图3，显然难于直接确定点的位置，若利用对称性，把四边形ACBO补成一个八边形，其周长为4L，是定值。由对称性知，要使四边形ACBO的面积最大，必须使此八边形面积最大。 由命题“周长一定的凸n边形中，以正n边形的面积为最大”，可知当八边形为正八边形时，四边形ACBO的面积最大。此时点C为正八边形的一个顶点，正八边形的边长为，易得正八边形外接圆半径为：，于是据此可确定A、C、B的位置。 求解过程请同学们完成。 例4 方程组 解的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 解析 显然方程组关于x、y、z对称，其结果也应关于x、y、z对称。 若方程组只有一组解。则必有x = y = z，此时由①有x = y = z = 2，代入②、③均不成立，故选项A错误。 若方程组有两组解，则与方程组关于x、y、z具有对称性矛盾，故选项B错误。 若方程组有三组解，不妨设x = y ≠，此时由①可得z = 6-2x，代入②得3x2 - 12x +13=0。 但由于△= -120，此方程组无解，故选项C错误。 综上所述知，本题应选C。 例5 对aR，方程x4 + ax2 + 3x2 + ax = 1的一切根都是虚数，且它们的模皆不为1，求实数a。 解析 由于方程的系数关于中间项对称相等，进一步观察发现，利用x与的对称性构造新的对称式，同时可使方程变为一元二次型的方程。 因为x∈R，所以x≠0，方程两边同除以x2，得x2 + ax + 3 + = 0，即 由于|x| ≠1，所以x +R，于是应有△= a2 – 40，即-2a2。 点评 从上述解答过程可以看出，整个过程处处体现了一种对称之美。 例6 已知四面体的一个顶点A，从其它顶点与棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（ ）种。 A. 30 B. 33 C. 46 D. 39 解析 如图4，显然3个侧面内满足题设条件的取法数相同，即具有对称性。在面ABC内，A以外的任意5点取3点均与A在同一平面内，有取法。又AC、BD、AB、CD、AD与BC的中点中的任意4点均共面，故共有3+3×1 = 33种。故应选B。= 60中，故应选B。 图1 x y O A B 图2 C1 A B C D 图3 O B Q C A P ① ② ③ 图4 A B D C · · · · · ·