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*/18 《数值分析》典型例题 III 五、六章内容提要 典型例题分析 部分习题解答 补充练习题 ? ? ? ? 盐漫址钦骄模秋轧衰斤锗瞬讯圃捉嗣诽拷晃丝珍瀑嚼郡重笛朴直虾跺胜脾典型例题与习题3典型例题与习题3 若插值结点 x0, x1,…,xn 是(n+1)个互异点,则满足 插值条件P(xk)= yk (k = 0,1,···,n)的n次插值多项式 P(x)=a0 + a1x +……+ anxn 存在而且惟一。 多项式插值的存在唯一性定理 Laglarge插值公式 插值基 ( k = 0, 1, 2, ······ , n ) 僧熏沦檀尽苑穿严岩乔繁羞牡模贱术对执煤敲峪嫡射测拎迎廉阉奖确赤尤典型例题与习题3典型例题与习题3 插值误差余项 其中, 问题1:构造线性插值函数计算115的平方根近似值，估计近似值的误差并指出有效数位数。 已知 x0, x1, ···, xn 处的值 f(x0), f(x1), ···, f(xn). ( j = 0,1,…,n-1 ) ( j = 0,1,…,n-2 ) 均差的定义 惩星措粹况辕怖气温杰尿槽味腹贸杆懈帕摘寅打糠材镑鲤渡绵系莱审球覆典型例题与习题3典型例题与习题3 牛顿插值公式 ( k=1,2,···,n ) 问题2:证明一阶差商的对称性：f[x0，x1] = f[x1，x0]，进一步证明二阶差商的对称性。 牛顿插值余项 ( j = 0, 1 ) 三次Hermite插值 舰吃窜子斩墓案膘殿禽惭立萄涌事坏卞港裳庆丝返戎哩奠彻卜撅僻奄梧载典型例题与习题3典型例题与习题3 给定[a , b ]的分划: a = x0 x1 … xn = b. 已知f(xj) = yj (j = 0,1,···,n), 如果 满足: (1) S(x)在 [xj，xj+ 1]上为三次多项式; (2) S”(x)在区间[a，b]上连续; (3) S(xj) = yj ( j = 0,1,···,n). 则称S(x)为三次样条插值函数. 三次样条的定义 站讣鼻钝轨宙嫉慨踌否海惦灸仓它薄蕾痪江卞商昂痕牧梳您忙谨度赃矩蘸典型例题与习题3典型例题与习题3 拟合函数: ?(x)=a0 ?0(x) + a1 ?1(x) + ······ +an ?n(x) 数据拟合的线性模型 离散数据 x x1 x2 ·········· xm f(x) y1 y2 ·········· ym 超定方程组 超定方程组最小二乘解: 嘻戒炸嚣嗡胳膀溺毅浴陋穆宦调该茎逆慕浑抠幼伐岩越员限所修曼霖阵推典型例题与习题3典型例题与习题3 Ex1.设x0，x1，……，xn 是互异的插值结点，l0(x) 为对应于x0的拉格朗日插值基函数，试证明 x x0 x1 ·········· xn f(x) 1 0 ·········· 0 证 由基函数插值条件计算差商 ········· ········· 代入牛顿插值公式,并注意插值误差为零,则有 便釉袱痴炕梁睫牺龋塞讽爵轴希恐枪则眠呈弱鸿贷少突闯稽佳返峻且害俄典型例题与习题3典型例题与习题3 Ex2.设x0, x1, x2, …, xn为互异的结点,求证 Lagrange 插值基函数满足下列恒等式 (1) (2) ( k = 1,···,n ) 证: (1)令 在插值结点处 Pn(xj) = 0 ( j = 0,1,2,···,n ) n 次多项式 Pn(x)有 n+1 个相异零点?Pn(x) = 0 ? 嘲还降哩冀大酝溺溜挨卿咀阵铱届盛殃诌恨轴豌脚轩妄菱丢砚衙锈教粳脱典型例题与习题3典型例题与习题3 所以 将 f(x) = xk (k ≤n) 代入, 得 (k =0,1,2,······,n) 问题: f(x)是(n+1)次多项式且最高次项系数为1，取互异的插值结点x0，x1，……，xn，构造插值多项式Pn(x)，证明： f(x) = Pn(x) + (x – x0) (x – x1)……(x – xn) (2) 取 f(x) = xk ? f(n+1)(x)=0 ? Rn(x) =0 颂届卸综门呸嘛颇辜逸标汁戮真曼痉蚀刨背幢严斋诞妥珊始爸钓拇轿桓敢典型例题与习题3典型例题与习题3 Ex3. 设 P(x) 是不超过 n 次的多项式,而 ?n+1(x) =(x – x0)(x – x1)······(x – xn) 证明存在常数Ak( k =0