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* * 习 题 课 一 返回目录 随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件 样本空间、样本点 内容提要 1. 事件的包含,事件的相等; 2. 事件的和(并); 3. 事件的积(交); 4. 事件的差; 5. 互不相容事件(互斥); 6. 对立事件. 一. 随机事件的概念,事件之间的关系与运算 二. 概率的定义与性质 概率的公理化定义 对于任何互不相容事件序列 1. (非负性) 任事件A, 2. (规范性) 必然事件S, 3. (可列可加性) 概率的性质 3. A，B 是两个事件，则 5. (加法定理) 一般加法公式 (1) 所有可能的试验的结果只有有限个； (2) 每一个结果出现的可能性相同. 古典概型的特点是: 三. 古典概型的计算(几何概率) 例题 例1 设 A、B、C 是三个随机事件,在下列各式中不成立的是( ) 例2 设随机事件A、B、C 两两互不相容,且 B 例3 一袋内装有6个球,4 个是白球,2 个红球,从中任取两个球,每次取一个,求: (1) 取到两个白球的概率; (2) 取到两个颜色相同的球的概率; (3) 取到两个中至少有一个白球的概率. 古典概型的计算 1. 摸球模型 解: 设 A =“取到二个白球” B =“取到二个红球” A与B互不相容 1* 重复抽样(有放回抽样) 2* 不重复抽样(无放回抽样) 3* 一次取二个 例4 某袋中有a +b 只球,其中 a 只白球,b 只黑球,现有a +b 个人依次从袋中取出一球,每个人观察球的颜色后将球放回袋中(有放回取球),求第 k 个人取到白球的概率. 解: 设 = “第 k 个人取到白球” 例5 每个人取球后不再放回,(无放回取球),求第 k 个人取到白球的概率. 2. 盒子模型 例6 两封信任意地向标号为1,2,3,4的四个邮筒投寄, 求: (1) 第3个邮筒恰好投入1封信的概率; (2) 有两个邮筒各有1 封信的概率. 解: 设 A = “ 第3个邮筒恰好投入1封信” B = “ 有两个邮筒各有1 封信” (1)第一个盒子是空盒(事件A)的概率； (2)n 个球落在 n只不同的盒子(事件B)的概率； 例7 将 n 个不同的球随机地放入编号为 的 k 只盒子中去 ,试求： (3)第一盒或第二盒中至少有一只是空盒(事件C)的概率. 解： 例8 10个晶体管,4个是次品,6个正品,随机地抽一个检查,到4个次品都找到为止,求第4个次品在第5次测试中发现的概率. * 对复杂的问题用乘法原理,把问题分成若干个阶段,每个阶段用上述方法,然后再相乘. 解: * 更复杂的问题,先用概率性质化简 例9 从1~2000中任取一个整数,问取到的整数不能被6 和 8 除尽的概率. 解: 设 A = “ 能被6整除” B = “ 能被8整除” 例10 将15名新生随机地平均分配到三个班级中去, 这15名新生中有3名优秀生.问 (1) 每个班级各分到一名优秀生的概率是多少? (2) 3名优秀生分在同一个班级的概率是多少? 解: 15名新生随机地平均分配到三个班级的分法有 (1) 每个班级各分到一名优秀生的分法有 (2) 3名优秀生分在同一个班级的分法有 几何概率 例11 把长度为 a 的棒折成三段,求它可以构成一个三角形的概率. 解: 设其中两段的长度分别为 x , y , B = “构成一个三角形” 例12 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内到达的时间是等可能的,如果甲船的停泊时间是一小时,乙船的停泊时间是两小时,求它们中的任何一艘船都不需等候码头空出的概率. 解: 设甲、乙两艘轮船到达码头的时间分别为 x , y , 练习题 1.某人对事件 A,B 及 A∪B 分别给出主观概率如下： 问给得恰当吗？ 2.如果( )成立,则事件A与B为对立事件. 3. 设随机事件 A 和 B 互不相容, 则 A 和 B 恰有一个发生的概率是（ ） 4. 若随机事件A与B 都不发生的概率为p,则下列 结论正确的是（ ） (A) A 与 B 都发生的概率为 1- p ; (B) A 与 B 只有一个发生的概率为 1- p ; (C)?A?与 B 至少有一个发生的概率为 1- p ; (D) A 发生 B 不发生的概率为 1- p . 6．A,B 为两事件,若 则( ） 5. 事件 A、B 、C 中至多有一个发生可表示为( )