2016年全国研究生入学统一考试数学一真题及答案.docVIP

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.收敛，则（ ） 【答案】（C） 【解析】 在（时收敛），可知，而此时不影响 同理， （时收敛），而此时不影响 （2）已知函数，则的一个原函数是（ ） 【答案】（D） 【解析】由已知可得，，取，故选D （3）若是微分方程的两个解，则（ ） 【答案】（A） 【解析】是一阶齐次微分方程的解，代入得，所以，根据解的性质得，是的解。所以有. （4）已知函数，则（ ） （A）是的第一类间断点 （B）是的第二类间断点 （C）在处连续但不可导 （D）在处可导 【答案】（D） 【解析】由于，,故选D。 （5）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（ ） （A）与相似 （B）与相似 （C）与相似 （D）与相似 【答案】（C） 【解析】此题是找错误的选项。由与相似可知，存在可逆矩阵使得，则 此外，在（C）中，对于，若，则，而未必等于，故（C）符合题意。综上可知，（C）为正确选项。 （6）设二次型，则在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ） （A）单叶双曲面 （B）双叶双曲面 （C）椭球面 （D）柱面 【答案】（B） 【解析】对于二次型， 其矩阵为， 接下来由， 可得其特征值为（一正两负），因此其正惯性指数和负惯性指数分别为1,2. 故二次型的规范形为，即，对应的曲面为双叶双曲面。 （7）设随机变量，记，则（ ） （A）随着的增加而增加 （B）随着的增加而增加 （C）随着的增加而减少 （D）随着的增加而减少 【答案】（B） 【解析】 所以概率随着的增大而增大。 （8）随机试验有三种两两不相容的结果，且三种结果发生的概率均为，将试验独立重复做2次，表示2次试验中结果发生的次数，表示2次试验中结果发生的次数，则与的相关系数为（ ） 【解析】 ， 所以 二、填空题：9(14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. 【答案】 【解析】 （10）向量场的旋度 【答案】 【解析】由旋度公式得， 11、设函数可微，有方程确定，则． 【答案】 【解析】两边分别关于求导得 ，将代入得， （12）设函数，且，则 【答案】 （13）行列式____________. 【答案】 【解析】 （14）设为来自总体的简单随机样本，样本均值，参数的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则的置信度为0.95的双侧置信区间为______. 【答案】 【解析】 因为，所以所以置信下限. 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.，计算二重积分. 【答案】 【解析】 （16）（本题满分10分）设函数满足方程其中. 证明：反常积分收敛； 若求的值. 【答案】 【解析】 （1）特征方程为，由可知，特征方程有两个不相同的特征根，且， 由二阶常系数齐次线性方程的求解可知， 由于 极限存在，故收敛. (2) 由，可知， 解得 代入可知 （17）（本题满分10分）设函数满足且是从点到点的光滑曲线，计算曲线积分，并求的最小值 【答案】3 【解析】 (1) 由 可知： 又 可知 因此 因此，积分与路径无关 (2) 可知 有唯一驻点 因此 时 有最小值 （18）设有界区域由平面与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分 【答案】 【解析】 由高斯公式可知， （19）（本题满分10分）已知函数可导，且，，设数列满足，证明： （I）级数绝对收敛； （II）存在，且. 【证明】 显然，收敛 因此，绝对收敛； （2）的前项和记为 易知，，由第一问可知极限存在，因此存在 （*） i)由已知，易知 不等式两边取极限，可知，即； ii)若，则（*）矛盾； iii)若，则由（*）可知，而，显然矛盾 综上， （20）（本题满分11分）设矩阵 当为何值时，方程无解、有唯一解、有无穷多解？ 【答案】时，无解；时，有无穷多解，；且时，有唯一解， 【解析】（20）（本题满分11分）设矩阵 当为何值时，方程无解、有唯一