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1.1 什么是数学建模？ 数学建模是借助数学的知识和方法把实际问题变为数学问题来了解实际问题的主要规律，以达到解决实际问题的目的。 数学建模是数学知识与实际问题连接的桥梁。 在数学建模过程中，要先把实际问题用数学语言来描述，以将其转化为我们熟悉的数学问题和形式，然后通过对这些数学问题的求解来获得相应实际问题的解决方案或对相应实际问题有更深入的了解，以帮助决策者进行决策。 页眉 * 页眉 * 页眉 * 页眉 * 页眉 * 页眉 * 页眉 * 页眉 * 页眉 * 页眉 * 页眉 * 页眉 * 页眉 * 页眉 * 页眉 * 1.4 怎样做数学建模 因为我们在进行数学建模时依赖于模型假设，通常我们在建模开始时作的初始假设会有些遗漏或不太合适，以至于得出的数学模型与实际不符，这样就要不断修改假设再重新建模。 数学建模是一种迭代过程！ 数学建模一般是从先建立一个简单的模型开始，然后根据模型的特点和实际需要来修改简单模型使其不断丰富，以获得所要解决问题的复杂一些的数学模型。 此外，对要解决的问题若因为考虑太多不能建立一个数学建模或不能求解已经建立的模型对其进行简化就是我们的首选。 建立简化模型是学习数学建模重要内容，它不但可以给所解决问题指出研究的方向，而且有时甚至是能否使用数学建模技术的关键。 怎样做数学建模？ 限制问题的识别使问题更具体些 忽略一些变量或因素 用多个变量的合并效果表示一个变量以减少变量个数 把一些变量作为常数来考虑 对有关系的变量采用简单线性关系 给出更多的假设 建立简化模型或对已经有的 数学模型进行简化的方法有 把问题进行扩展 加入额外的变量 仔细考虑模型中的每个变量 把常数改为变量考虑 考虑变量之间的非线性关系 减少假设的条件 数学模型进行改进的方法有 模型假设 1）时刻t人口增长的速率与当时人口数成正比，增长率为常数r。 2）以P(t)表示时刻t某地区（或国家）的人口数，设人口数P(t)足够大，可以视做连续函数处理，且P(t)关于t连续可微 模型I： 人口指数增长模型（马尔萨斯Malthus，1766--1834） 模型建立及求解 据模型假设，在t到 t +? t 时间内人口数的增长量为 如果设 t = t0时刻的人口数为，则P(t)满足初值问题： 称为指数增长模型（或Malthus模型）。 19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好的吻合。19世纪以后的许多国家，模型遇到了很大的挑战。 注意到 ，我们的地球是有限的，故指数增长模型（Malthus模型）对未来人口总数预测非常荒谬，不合常理，应该予以修正。 模型检验 我们把人口数仅仅看成是时间的函数，忽略了个体间的差异（如年龄、性别、大小等）对人口增长的影响。 假定是连续可微的。这对于人口数量足够大，而生育和死亡现象的发生在整个时间段内是随机的，可认为是近似成立的。 人口增长率是常数，意味着人处于一种不随时间改变的定常的环境当中。 模型所描述的人群应该是在一定的空间范围内封闭的，即在所研究的时间范围内不存在有迁移（迁入或迁出）现象的发生。 模型讨论 不难看出，这些假设是苛刻的、不现实的，所以模型只符合人口的过去结果而不能用于预测未来人口。 改进模型：阻滞增长模型（Logistic） 模型假设 地球上的资源有限，不妨设为1；而一个人的正常生存需要占用资源1/ P*(t) ； 在时刻t，人口增长的速率与当时人口数成正比，为简单起见也假设与当时剩余资源 成正比；比例系数表示人口的固有增长率； 设人口数P(t)足够大，可以视做连续变量处理，且P(t)关于t连续可微。 模型建立及求解 称为阻滞增长模型（或Logistic模型） 模型检验 当人口数的初始值P0P*时，人口曲线（虚线）单调递减; 当人口数的初始值P0P*时，人口曲线（实线）单调递增； 无论人口初值如何，当t??，它们皆趋于极限值。 模型讨论 阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的不足，可以被用来做相对较长时期的人口预测，而指数增长模型在做人口的短期预测时因为其形式的相对简单性也常被采用。 不论是指数增长模型曲线，还是阻滞增长模型曲线，它们都是单调曲线。但我们可以从一些有关我国人口预测的资料发现这样的预测结果：在直到2030年这一段时期内，我国的人口一直将保持增加的势头，到2030年前后我国人口将达到最大峰值16亿，之后，将进入缓慢减少的过程——这是一条非单调的曲线，说明本节提到的两种方法不能描述这种情况。