随机变量及其分布练习题..docVIP

窗体顶端 1.设某种零件的合格品率为0.9,不合格品率为0.1 ,现对这种零件逐一有放回地进行测试,直到测得一个合格品为止,求测试次数的分布律. 解. 设随机变量X表示测试次数,则X的取值范围为1, 2, 3,… 根据题意, 当X的取值为k时, 表示前(k-1)次取到不合格品, 第k次取到合格品, 而且是有放回的测试, 因此, 每次是否取到合格品是相互独立的. ∴ P(X=k)=0.1k-1×0.9 k=1,2,3,… 窗体底端 窗体顶端 2.有3个小球和2只杯子,将小球随机地放入杯中,设X为有小球的杯子数,求X的概率分布. 解. 显然 随机变量X可能取值为1和2, 且 , ?????????????? . 所以, X的概率分布列为 X 1 2 p 1/4 3/4 ? 窗体底端 窗体顶端 3.一袋中有8个球:5个红的,3个白的.每次从中任取一个.有下述两种方法进行抽取,X表示直到取得红球为止所进行的抽取次数. (1)不放回地抽取 ; ?? (2)有放回地抽取. 解. (1)在不放回方式中, 随机变量X可能取值为1, 2, 3, 4, 当X取k值时,前面(k-1)次取得白球,第k次取得红球,则 P(X=1)=5/8 , P(X=2)=3/8×5/7=15/56 , P(X=3)=3/8×2/7×5/6=5/56 , ??????????? P(X=4)=3/8×2/7×1/6×1=1/56 因此X的概率分布为 X 1 2 3 4 p 5/8 15/56 5/56 1/56 (2)在有放回方式中, 随机变量可能取值为1, 2, 3,…, 当X取k值时, 前面(k-1)次取得白球, 第k次取得红球,则 P(X=k)=(3/8)k-1×(5/8). k=1,2,3,… 窗体底端 窗体顶端 4.设随机变量X的可能取值为-1, 0, 1,相应的概率依次为p1 , p2 , p3 ,已知三个概率成等差数列,且p3=2p1,求X的概率分布. 解. 由概率分布的性质可知 p1+p2+p3=1 ① 又已知三个概率成等差数列即 p1+p3=2p2 ② 又根据已知条件 p3=2p1 ③ 解方程①②③得到 p1=2/9 , p2=1/3 , p3=4/9 . 因此, X的概率分布为 X -1 0 1 p 2/9 1/3 4/9 窗体底端 窗体顶端 5.掷一枚不均匀硬币, 直到正、反两面都出现过为止.设随机变量X表示掷硬币的次数.如果出现正面的概率为p(0＜p＜1), 求X的概率分布. 解. 由于掷硬币试验直到正、反两面都出现为止, 当X等于k时,它包括两种情形: 前面(k-1)次掷出正面, 第k次掷出反面或前面(k-1)次掷出反面, 第k次掷出正面. ? X的可能取值为2, 3, … , 且每次掷硬币是否出现正面是相互独立的. ∴ P(X=k)=pk-1(1-p)+(1-p)k-1p k=2, 3,… 窗体底端 窗体顶端 6.某人接连独立地进行三次试验. 第i次试验成功的概率 , i=1, 2, 3. 求三次试验中成功的次数X的概率分布.? 解. 随机变量X表示试验成功的次数, 所以X的取值是0, 1, 2, 3,且 X=0表示三次试验都没有成功: P(X=0)=(1-1/2)(1-2/3)(1-3/4)=1/24 , X=1表示三次试验有一次成功,两次没有成功: ??????????? P(X=1)=1/2×(1-2/3)×(1-3/4)+(1-1/2)×2/3×(1-3/4)+ ????????????????????????????????? (1-1/2)×(1-2/3)×3/4=1/4, ????? X=2表示三次试验有两次成功,一次没有成功: ?? ????????? P(X=2)=1/2×2/3×(1-3/4)+(1-1/2)×2/3×3/4+ ?????????????????????????????????? 1/2×(1-2/3)×3/4=11/24, ?????? X=3表示三次试验都成功了: ???????????? P(X=3)= 1/2×2/3×3/4=1/4. X～ . 窗体底端 窗体顶端 7.设随机变量ξ的概率分布为: P(ξ=k)=c/(2+k) , k=0, 1, 2,