51-2微分方程概念和一阶微分方程.pptVIP

第5章 微分方程基础 5.1 微分方程的基本概念 第5章 微分方程基础 小 结 即通解为 其中C为任意常数. 一阶齐次线性方程的解法 是可分离变量方程， 分离变量并积分 讨论 两边积分 非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比: 一阶非齐次线性方程的解法 只要解得C(x), 则可直接写出非齐次方程通解为： 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 作常数变易 由对应的齐次方程的通解: 得到非齐次方程通解形式 代入原微分方程,解出待定的C(x)即可。为此 积分得 非齐次线性微分方程的通解 非齐次方程特解 对应齐次方程通解 具体步骤 * 返回 * 返回 5.2 一阶微分方程 5.1 微分方程的基本概念 5.3 可降阶的二阶微分方程 5.4 二阶常系数线性齐次微分方程 5.5 微分方程在医药学中的应用 5.1.1 引例 2.微分方程的阶 4.微分方程的解 5.1.2 微分方程的基本概念 1.微分方程 3.线性微分方程 5.微分方程的初始条件 解 根据题意有 这就是曲线 y=f (x)所满足的微分方程 对其两端积分可得 5.1.1 引例 解 即求未知函数S=S(t). 设列车开始制动后t秒内行驶了S米，由题意， 列出微分方程： 积分一次得 再积分一次得 根据题意知S应满足: 因假定路程S是从 开始制动时算起，故S(0)=0. 将这两个条件代入(*) 式得 初始条件 于是制动后列车的运动规律为 初始条件 (*) 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 实质 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式. 5.1.2 微分方程的基本概念 1. 微分方程 （或微分）的关系式，称为微分方程. 未知函数是多 注 定义 未知函数是一 元函数的微分方程，称为偏微分方程. 本章只研究常微分方程，简称为微分方程， 有时也简称为方程. 例如 是常微分方程， 方程 方程 是偏微分方程. 联系着自变量、未知函数以及它的导数 元函数的微分方程，称为常微分方程. 分类1 常微分方程, 偏微分方程. 2. 微分方程的阶 一阶微分方程 高阶(n)微分方程 分类2 微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数 称为微分方程的阶. 例 例如： 一般n阶线性微分方程具有形式 如果方程为 y及 的一次有理整式， 是二阶线性微分方程. 这里a1(x)，…，an(x)，f (x)是x的已知函数. 则称 为n阶线性微分方程. 不是线性方程的方程称为非线性方程. 3. 线性微分方程 分类3 线性与非线性微分方程. 分类4 单个微分方程与微分方程组. 例如： 是二阶非线性方程. 定义 为方程的解. 例如： 如果函数 代入微分方程，能 使微分方程变为恒等式， 则称函数 如果关系式 决定的隐函数 隐式解. 是微分方程的解， 则称 为方程的 函数 是方程 的解. 4 . 0 2 2 - = dt s d 4. 微分方程的解 例如： 隐式解. 注 今后不把解和隐式解加以区别，统称为方程 一阶微分方程 有解 和 而关系式 x2+y2=1 就是方程的 的解. 定义 如果n阶常微分方程的解中含有n个独立 的任意常数，则称它为微分方程的通解. 不含任意常数的解称为它的特解. 例如 注1 通解不一定就是所有解. 是方程 的通解； 是方程 的通解. 注2 求微分方程的通解时，通解中的C不能被 省略， 但“C为任意常数”可以被省略. 例如： 这两个解不包括在通解中. 的通解，其中C为任意常数. 容易验证 y = 1和 y = -1都是方程的解.但 或 是方程 5.微分方程的初始条件 解所必需满足的条件，这就是所谓初始条件. 为了确定微分方程一个特解，通常给出这个 用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中的任意常数而得到特解的条件，称为初始条件 定义: 如例1中的(2,3)是初始条件. 过定点的积分曲线; 一阶 二阶 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线。 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题. 5.微分方程的初始条件 解 所求特解为 # 一阶微分方程 5.2 一阶微分方程 5.1 微分方程的基本概念 5.3 可降阶的二阶微分方程 5.4 二阶常系数线性齐次微分方程 5.5 微分方程在医药学中的应用 5.2 一阶微分方程 5.2. 1 可分离变量的微分方程 5.2. 3 一阶线性微分方程 5.2. 2 齐次微分方程 5.2.1 可分离变量的微分方程 一阶微分方程的一般形式是 的已知函数. 是 其中 形如 的微分方程称为已分离变量的微分方程. 5.2 一阶微分方程 两边同时积分，得 注 其中C是任意常数. 为了明显