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波动方程和波的能量 一、一维波动方程 纵波波动方程 横波波动方程 波动方程的一般形式 纵波 横波 二、波动能量的传播 1、波的能量 动能 S 势能 设在时刻t 该体积元正在被拉伸，两端面a和b的坐标分别为y和y+dy，则体积元ab的实际伸长量为dy。由于形变而产生的弹性回复力为 S 体积元的总能量 结论： 介质中任一体积元的动能和势能同相地随时间变化作周期性化。 沿着波动传播的方向，每一体积元都在不断地从后方质点获得能量，又不断把能量传递给前方的介质，能量就随着波动过程，从介质的一部分传给另一部分。 极大 能量极小 极小 2、波的能量密度 定义：单位体积介质中的能量就是能量密度 平均能量密度——一个周期内的能量密度的平均值 三、能流与能流密度 1、能流 单位时间内通过介质中某一面积的能量称为通过该面积的能流 平均能流 2、平均能流密度——描述能流的空间分布和方向 通过与波的传播方向垂直的单位面积的平均能流，称为平均能流密度，又称为波的强度。 单位：W·m-2 由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，与平面波类似，球面简谐波的波函数： 解：以点波源O以圆心作半径为r1和r2的两个球面，如图所示。由于介质不吸收波的能量，因此，单位时间内通过球面的总平均能量应该相等，即 所以振幅与离波源的 距离成反比。如果距 波源单位距离的振幅 为A，则距波源r处的振幅为A/ r 例1、一球面波在均匀无吸收的介质中以波速u传播。在距离波源r1=1m处质元的振幅为A。设波源振动的角频率为ω ，初相位为零，试写出球面简谐波的表达式。 1、相干波 振动方向相同、频率相同、相位相同或相位差恒定的两列波，在空间相遇时，叠加的结果是使空间某些点的振动始终加强，另外某些点的振动始终减弱，形成一种稳定的强弱分布，这种现象称为波的干涉现象。 相干波：能够产生干涉的两列波； 相干波源：相干波的波源； 相干条件：满足相干波三个条件 振动方向相同 频率相同 相位相同或相位差恒定 波的干涉 2、相干波源的获得 分波振面：S为波源前的一个障碍物上的一个小孔，S1和S2是在波前进路程中的另外一个障碍物上的两个小孔，且SS1=SS2。根据惠更斯原理，S、S1、S2都是独立的波源，S1和S2发出的波为相干波。 最强 最强 最强 最弱 最弱 3、干涉图样的形成 考虑两相干波源，振动表达式为： 传播到 P 点引起的振动为： 在 P 点的振动为同方向同频率振动的合成。 在P点的合成振动为： 其中： 对空间不同的位置，都有恒定的相位差，因而合强度 在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。 干涉加强（干涉相长）的条件： 干涉减弱（干涉相消）的条件： 当两相干波源初相位相同时，相干条件写为： 干涉加强 干涉减弱 五、振动的分解 将复杂的周期性振动分解为一系列频率不同，振幅各异的简谐振动的叠加。 3、频率相差较大，频率之比为无理数 阻尼振动、受迫振动、共振 一、阻尼振动 振动系统受粘滞阻力与速度大小成正比，方向相反 弹性力和上述阻力作用下的动力学方程： 阻尼振动：振幅随时间的变化而减小的振动。 1、阻尼振动的运动方程 固有角频率 阻尼系数 情况1：欠阻尼 这种情况称为欠阻尼 阻力使周期增大 2、讨论 欠阻尼 由初始条件决定A和初相位 ,设 即有： 过阻尼 无振动发生 情况2：过阻尼 临界阻尼 情况3：临界阻尼 是从有周期性因子 到无周期性的临界点。 应用在天平调衡中 二、受迫振动 强迫力 阻尼力： 受迫振动：在周期性外力作用下发生的振动。 稳定状态的受迫振动是一个与简谐驱动力同频率的简谐振动。 其解为： 求振幅对频率的极值 共振角频率 共振振幅峰值 三、共振 当驱动力的频率为某一值时，受迫振动的位移振幅出现最大值的现象，称为共振。 1、共振角频率和共振振幅峰值 共振发生在固有频率处，称为尖锐共振。 当 时 共振应用 共振预防 钢琴、小提琴等乐器利用共振来提高音响效果； 收音机利用电磁共振进行选台； 核磁共振被用来进行物质结构的研究和医疗诊断。 改变系统的固有频率或外力的频率； 破坏外力的周期性； 增大系统的阻尼。 2、共振的应用及预防 波动的基本概念 简谐波 波的干涉? 多普勒效应? 声波、超声波和次声波? 一、波动 振动在空间的传播过程称为波动 机械振动在弹性介质中的传播称为机械波 如声波、水波、地震波等 交变电磁场在空间的传播称为电磁波 如无线电波、光波等 微观粒子也具有波动性，称为德布罗意波。 二、波动的特征 具有一定的传播速度； 伴随着能量的传播； 能产生反射、折射、干涉和衍射等现象； 有相似的波动方程。 机械波的概念 一、机械波的形成 1、波动的产生 音叉振动时，形成声波 小球点击水面，会形成水波 介质中一个