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时代数学报第三届数学文化节 第二轮活动“能力素质挑战”书面问题解答 （九年级） （2008年1月6日 上午9：00～11：00） 亲爱的读者，欢迎参加时代数学报第三届数学文化节！在第一轮“基础知识闯关”活动中，你已经感受到扑面而来的数学文化气息，以你良好的基础，完全有信心从容地接受第二轮活动的“能力素质挑战”！这里，重要的不是为了胜人一筹，而是由此更上一层楼。进一步明白学好数学需要多方面的知识和素养，同时再一次展现你的灵性和潜能，品味数学文化的美丽芬芳和博大精深，简单些吧，写成一个公式： 广泛阅读＋深入思考＋仔细品味＝享受数学 再简单些吧，写成一个“数学公式”：G＋S＋Z＝X。 Let’s go! （注：满分150分，除第6题10分，第12题10分，第15题9分外每题7分，选择题只有一个正确答案） 数学之史 1、36军官问题 在数学文化节第一轮活动中，我们以探讨一个趣题的方式纪念了数学大师欧拉诞辰300周年。著名数学家拉普拉斯说过：“读读欧拉，他是我们所有人的导师。”是啊！欧拉在数学上的贡献实在太多了，即使在初等数学中也到处可见他的身影。我们再来看看欧拉研究过的“36军官问题”： 从6支部队中各选出6名不同军衔的军官，将这36名军官排成一个6行6列的方阵，要求每行每列的6个军官分别来自不同的部队，并具有不同的军衔。用大写字母A，B，C，D，E，F分别表示6支不同的部队，用小写字母a，b，c，d，e，f分别表示6种不同的军衔，于是问题转化为：在6×6的方格阵中，每个方格分别填入一个大写字母和一个小写字母，使每行和每列中的大小写字母只能各出现一次（通常称这种方阵为欧拉方阵或正交拉丁方）。欧拉搅尽脑汁，也没能排出符合要求的6×6方阵，他猜想并不存在这样的6×6方阵。100多年以后，才有人证明了欧拉的这个猜想是正确的。 于是欧拉继而探究了其他情形，例如，他分别作出了3×3，4×4，5×5正交拉丁方，并证明了当n除以4的余数不等于2时，n×n正交拉丁方是存在的。 正交拉丁方在药品配方试验设计等方面有着广泛应用。现在流行的“数独”游戏和比赛，就是发源于拉丁方问题呢！ 如图是一个5×5正交拉丁方，请将剩余的字母填上。 2、中国剩余定理 此定理源于我国古代数学名著《孙子算经》，其中记载了这样一个“物不知数”的问题：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这个问题的意思是：有一个正整数，除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的正整数。此问题及其解题原理在世界上颇负盛名，中外数学家们称之为“孙子定理”、“中国剩余定理”或“大衍求一术”等。 对以上“物不知数”的问题，求得满足条件的最小正整数为 ，而满足条件的所有正整数可用代数式表示为 。 数学之美 3、以小见大 如图，在正方形PQRS中，M、N分别为QR、RS上的点，且∠MPN＝30°。若△PMN为等腰三角形，且面积为1，则正方形PQRS的面积为 。 4、式也对称 设一元二次方程x2＋px＋q＝0（p，q为常数）的两根为x1，x2，则x2＋px＋q＝（x－x1）（x－x2）， 即x2＋px＋q＝x2－（x1＋x2）x＋x1x2， 比较两边x的同次幂的系数，得 这两个式子揭示了一元二次方程的根与系数之间的关系，且关系式①②中，x1，x2的地位是对等的（即具有对称性，如将x1，x2互换，原关系式不变）。 类似地，设一元三次方程x3＋px2＋qx＋r＝0（p，q，r为常数）的3个根为x1，x2，x3， 则x3＋px2＋qx＋r＝（x－x1）（x－x2）（x－x3）。 由此可得方程x3＋px2＋qx＋r＝0的根x1，x2，x3与系数p，q，r之间存在一组对称关系式： 数学之用 5、由表及里 如图，有两个转盘，每个转盘都分为3个相同大小的扇形区域，分别用序号1，2，3标出。现转动两个转盘，等转盘停止运动时，指针指向每个区域的可能性相等（不计指针与两个区域交线重合的情形），将所得区域的序号相乘，比较所得积为奇数或偶数的概率大小。 有人说，因为两个转盘中奇数序号都比偶数序号多，显然所得积为奇数概率大，你同意他的看法吗？ （填“同意”、“不同意”或“概率大小不确定”） 6、请你测算 如图，现有一块梯形土地ABCD要出售，已测得上底AB＝200m，高AD＝230m，∠D＝90°，∠C＝45°。康宁房地产公司计划购买两面沿街的一块面积为25000m2的梯形地块ABQP，试求AP的长。 7、等周扇形 一个扇形的周长为6m，则它的最大面积是