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第11章 DFT和FFT处理 数字信号处理基础 第11章 DFT和FFT处理 本章主要内容包括 定义和解释DFT 给出DFT的图解 建立DFT与离散时间傅里叶变换(DTFT)的联系 建立DFT与离散傅里叶级数(DFS)的联系 认识DFT的有限分辨率及由之产生的模糊效应等问题 将DFT应用于周期及非周期信号 讨论DFT计算中窗的作用 介绍表示信号时间和频率信息的频谱图 导出可以有效计算DFT的快速傅里叶变换(FFT) 定义图像及其他二维数据的二维DFT 11.1 DFT 基础 DTFT(离散时间傅里叶变换)的定义： 问题：(实现DTFT的困难)计算X(Ω)的问题 (1) 需要无限多个采样值 x[n] (2) Ω在实数域取值，X(Ω)定义在无限多个频率上。 从DTFT到DFS再到DFT X(?) 不适合描述信号的频谱，工程价值不高，因此要用新的适合于工程应用的方法来描述数字信号的频谱。 8.3考虑了一种特殊的信号：周期数字信号，其频谱可以用DFS（富里叶级数）描述，DFS只需要有限（一个周期，N个采样点）个采样值，在有限个标号上表示数字信号的频谱（N个线谱）。 DFT的思想：如果从任意的输入信号 x[n] 取 N 个连续的采样值，这 N 个采样值应该包含时域信号的最重要特征，并且按 DFS 相同方式处理 x[n]，则得到DFT。 DFT(离散傅里叶变换)的定义 DFT(离散傅里叶变换)的定义： DFT解决了 X(?)的二个问题：N（有限）个采样点，N（有限）个频谱值。DFT中的N个采样点，可以看成长度N的DFT窗内。 DFT窗：取原始信号的N个值用于分析。 当N足够大时，窗外的采样值并不影响频谱分析。 离散傅里叶变换的性质 如同DTFT一样，从 DFT 的定义可以推导出 X[k] 具有的 3 个基本性质。 逆DFT 逆DFT： DFT和DTFT的关系： 图11.1 信号、DFT、DTFT和逆DFT之间的联系 信号、DFT、DTFT和逆DFT之间的联系 P330 例11.1 (MatLab验证) P331 例11.2 MatLab验证 P332 例11.3 MatLab验证 omega = linspace(0, 2*pi*(N-1)/N, N) 分辨率与DFT的滤波器效应（P334） N点DFT的线谱覆盖了 0～fs 的模拟频率范围，频率采样点以 fs/N 为间隔。 DFT分辨率 = DFT频率间隔 = fs/N N越大，分辨率越高，线谱越接近于连续频谱X(?)。 DFT 的滤波器效应：X[k]，相当于中心数字频率为2πk/N 的带通滤波器组（k=0,1,….,N-1），即N个带通滤波器并联。 例11.4 P335 MatLab验证 例11.5 P337 MatLab验证 系统中所能表示的最高频率，即采样频率的一半6 kHz。DFT幅度频谱说明信号的最强分量在该频率处。这个频率处的峰说明图11.14中DFT所对应的信号一定在电平上有剧烈且快速的变化。为求准确的信号，必须用式(11.2)对N=8及表11.5的值求IDFT。 真实频谱的模糊：信号的频率不是频率分辨率的整数倍时，在频谱中不能准确定位的现象 DFT有限的分辨率说明了DFT频谱的含意。十分重要的是，DFT不能超过分辨率所允许的范围而去准确定位频率，这种限制在 例11.4 中出现过，该例中是以fs=6.4 Hz对包含1/16和3/8 Hz频率的信号进行采样，然后用256点DFT进行分析的，此DFT的分辨率为fs／N=6.4／256=0.025 Hz。因为DFT分量仅在0.025整数倍的频率处，又因为(1／16)／0.025=2.5，所以1/16 Hz的信号不能准确定位。1/16 Hz频率位于两个DFT频率之间，如例中所示。因而，该信号可用真实信号频率两侧中任一侧的DFT标号去描述；而另一方面，3／8 Hz的信号，因为(3／8)／0.025=15，正好与DFT频率一致，则可被准确定位，如例11.4所示。 当DFT中没有频率与所分析信号的重要频率相符时，DFT就导致了真实频谱的模糊(smearing)。 例11.6 P339 从频谱图看信号的周期性 DFT并不区别周期和非周期信号，因此没有必要检验用来进行分析的一组采样值是否重复。DFT只是对时域采样信号的集合进行运算，从而得出信号的频率分量。 DFT确实有助于揭示信号是否具有周期性。非周期信号的DFT幅度频谱包络将呈现大小变化以及间隔变化的许多凸起，但没有清晰的尖峰。 周期性表现在幅度频谱中固定间隔上有确定的窄的尖峰。对于周期信号，这些尖峰位于谐波频率上，即信号基频的整数倍，见8.3节。由于DFT可能与信号的周期不一致，所以DFT窗的长度影响谐波尖峰的形状及尖峰