第12章能量原理学案.pptVIP

上式中没有取 项，是因为在Fp的作用下，内力和变形都是对称的，而此项在中点处v=0，变形是反对称的。 ∵ ∴ 由势能驻值条件 得 解之得 则 ，比精确解少0.24% ，比精确解少10% 误差仍较大，但位移和弯矩的精度均有所提高，随着级数项数增加，位移和弯矩都将趋于精确解。 §12.3余能原理 1 余能的定义 ：杆件结构的余能EC定义为 （12-19） 上式中，U*为杆件结构的应变余能，对于线弹性材料而言，杆件结构的应变余能为 （12-20） E*C为结构的支座位移余能，或称给定边界位移余能，即在支座位移c上相应支座反力R所做的虚功总和的负值。 （12-21） 2 余能驻值原理 超静定杆件结构的余能驻值原理可表述如下：在所有静力可能内力中，真实的内力应使结构的余能为驻值。 该原理说明，如果内力满足全部的静力平衡条件，而且还能使结构的余能为驻值，则与此内力相应的变形必然满足变形协调条件，即余能驻值条件与变形协调条件是等价的。 可以证明：超静定结构中，在同时满足静力平衡方程、几何方程和物理方程的解具有唯一性的情况下，结构的真实内力不仅使余能为驻值，而且该驻值一定为极小值。这就是最小余能原理。 3 余能驻值原理应用 3.1 利用余能驻值原理推导力法典型方程 设力法基本未知量向量为{X}={X1 X2 … … Xn}T ，在力法基本结构中，各杆任一截面的内力可表示为 支座反力可表示为 (b) (a) 上述各式中 、 、 和 分别为力法基本结构在Xi=1时，所产生的任一截面的内力和反力；FNp、 FQp 、 Mp 和Rp 分别为力法基本结构单独在荷载作用时的任一截面的内力和反力。则 (c) 根据余能驻值条件 得 (d) 展开得 所以(d)式可以写成 这就是力法的典型方程。 因为 3.2 利用余能驻值原理直接解超静定问题 例2 利用余能驻值原理作图示结构的M图（EI=常数）。 B q l l A C 解： 取力法基本结构后，其静力可能的内力为 q X1 A B C 力法基本结构 x x AB段： BC段： 结构的应变余能为 结构支座位移余能为E*C =0 则结构的余能为 EC=U* 由余能驻值条件 得 解之得 求出X1后，很容易作M图，如图所示。 M图(×ql2) 1/32 1/8 1/32 1/8 M图(×ql2) 结构力学第12章 能量原理 主要内容 1 杆件的应变能及应变余能计算 2 结构势能定义及势能原理 3 结构余能定义及余能原理 能量的概念大家早已了解，在第六章分析静定结构的位移计算中，曾介绍了虚功方程的两种应用：虚设单位力求位移和虚设单位位移求未知力。在本章中将介绍基于能量原理基础上的解题方法。 §12.1 杆件的应变能及应变余能计算 1 应变能密度和应变余能密度 应变能密度定义 :单位体积内的应变能称为应变能密度 1.1 应变能密度 例如简单拉伸杆件，取出dx微段，其拉伸曲线如图(a)所示 图(a)简单拉伸曲线 FN dx ? 应变能U为 （12-1） d? ? ? O B A 图(b) 应力? 应变曲线 C d? 根据应变能密度的定义，则应变能密度为 （12-2） 即应力? 应变曲线中OAB所围的面积。 d? ? ? O B A 图(b) 应力? 应变曲线 C 1.2 应变余能密度 应变余能密度定义 :单位体积内的应变余能称为应变余能密度。 仍以简单拉伸杆件为例，应变余能为 （12-3） 根据应变余能密度的定义，则应变余能密度u*N为 即应力? 应变曲线中OAC所围的面积。 （12-4） 图(a)简单拉伸曲线 FN dx ? dFN 对于线弹性材料，?=E.?有，则 （12-5） 2 杆件的应变能和应变余能 象纯拉伸一样，当杆件处于纯剪切和纯弯曲时，其应变能密度分别为 定义：单位杆长上的应变能为杆件的应变能密度，用u1表示。 则当杆件同时承受拉伸、剪切和弯曲时，其杆件的应变能密度为 即 （12-6） 对于线弹性材料，有FN=EA.? ， FQ=GA.? /k（k为截面形状系数），M=EI .? 。则 （12-7） 显然有 （12-8） 设：杆截面形心的轴向位移为u，横向位移为v，截面的转角为?。则几何方程为 （12-9） 将上式代入（12-7）式得 （12