第2讲+导数与微分学习笔记.docVIP

第二讲 一元函数微分学 题型一 与导数定义有关的题 【例1】已知,则 _______.【答案】 【解析】原式=. 【例2】（11,3）已知函数在x=0处可导，且=0，则= ( ) (A) 2 (B) (C) (D) 0 【答案 详解： 故应选(B) 【例3】设函数在处连续，下列命题错误的是( ) .若存在，则 若存在，则 若存在，则存在 若存在，则存在都正确，从而只有不正确。 由存在及在处连续，所以 ，所以(A)正确； 由选项(A)知，，所以存在，根据导数定义， 存在，所以(C)也正确； 由在处连续，所以在处连续，从而 ， 即有，所以(B)正确，故此题选择(D). 方法2：举例法，举例说明(D)不正确。例如取，有 存在 而，，左右极限存在但不相等，所以在的导数不存在。(D)不正确，选(D). 【例4】函数不可导的点的个数是 （A）3 （B）2 （C）1 （D）0 解 显然不可导的点最多三个，即，， 但由常用结论的备注可知，在可导，而在，不可导，故选（B）. 【例5】设函数，则在内( ) (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. 【答案】C 【详解】分段讨论，并应用夹逼准则， 当时，有，命取极限，得，，由夹逼准则得； 当时，； 当时，，命取极限，得，由夹逼准则得 所以 再讨论的不可导点. 按导数定义，易知处不可导，故应选(C). 设函数在处连续,且,则( ) (A)存在 (B)存在 (C)存在 (D)存在【答案】 【详解】题目考察该抽象函数在0点处的函数值，及0点处的左右导数，计算如下： 换元令，由题设可得 . 于是 因为函数在点处连续，故，进而有 . 这表明且存在. 故应选 . 在处可导，在对应点处可导，则复合函数在处可导，且 【例7】已知，则 已知，，则_______ 解 【例8】设，函数可导，求的导数。 解 当时， 当时，为，和的复合，且，由题设存在，若 存在由复合函数求导法知 而 则 注： 这是一种“经典”的错误，原因是极限不存在，因为求极限的函数在的任何邻域内都有没定义的点（充分大） 2、复合函数求导 隐函数导数的求法一般有三种方法： (1)方程两边对求导，视是的函数，则的函数是的复合函数。例如，，，等均是的复合函数。对求导应按复合函数连锁法则做。 (2)公式法。 (3)利用微分形式不变性 【例9】设方程确定为的函数,则_____________. 【答案】 【解析】将方程看成关于的恒等式,即看作的函数. 方程两边对求导,得 . 【例10】已知函数由方程确定，则 . 【详解】是由确定的的函数，两边对求导， 所以 两边再对求导，得 把代入，得，，代入得. 【例11】设 则=__________. 【答案】 【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即 如果 , 则 .所以 , 再对求导,由复合函数求导法则得 . 【例12】设由所确定，求 解 本题最简单的方法是利用公式 由知 ，，则 ， 由知，且 令，得， 【例13】设，求. 详解：, , 4、对数求导法适用于幂指函数、连乘、开方、乘方等。 【例14】设，求. 解 5、高阶导数（常用方法）： 1）代公式;2）求一阶、二阶，归纳阶导数 3）利用泰勒级数 常用公式: 1）2）3） 【例15】设，求 解 【例16】设函数的某领域内可导,且,则【答案】 【详解】题目考察抽象函数在某点处的高阶导数。 利用题目已知的函数关系式进行求导便可得出。 由，有 所以 以代入，得.设函数，则 【详解】， ， 由数学归纳法可知 把代入得 【例18】设，求 解 令 ， 则 【例19】求函数在处的阶导数. 解法1 利用公式 令， ，，， ，， 解法2 等式右端的次项系数． 又，则 题型三、求切法线方程 【例20】设函数由方程所确定,则曲线在点处的法线方程为 .【答案