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机械振动习题解答（四）·连续系统的振动 连续系统振动的公式小结： 1 自由振动分析 杆的拉压、轴的扭转、弦的弯曲振动微分方程 此式为一维波动方程。式中，对杆，y为轴向变形，；对轴，y为扭转角，；对弦，y为弯曲挠度，。 令，Y(x)为振型函数，代入式(1)得 式(2)的解为 将式(3)代入边界条件，可得频率方程，并由此求出各阶固有频率ωn，及对应的振型函数Yn(x)。可能的边界条件有 类似地，梁的弯曲振动微分方程 振型函数满足 式(6)的解为 梁的弯曲挠度y(x, t)，转角，弯矩，剪力。所以梁的可能的边界条件有 2 受迫振动 杆、轴、弦的受迫振动微分方程分别为 下面以弦为例。令，其中振型函数Yn(x)满足式(2)和式(3)。代入式(9)得 考虑到式(2)，式(10)可改写为 对式(11)两边乘以Ym，再对x沿长度积分，并利用振型函数的正交性，得 当简谐激励时，式(12)的稳态响应解为 全响应解为 当阶跃激励时，式(12)的解为 类似地，梁的弯曲振动微分方程 令，代入式(13)，经过一系列处理，得 ---------------------------------------------我是分割线---------------------------------------------- 解题步骤 1 自由振动分析 ①按照式(3)或(7)，写出含待定系数的振型函数； ②写出边界条件； ③把振型函数代入边界条件，消去待定系数，得到频率方程。 2 受迫振动分析 ①写出激励f (x, t)的表达式； ②通过以上自由振动分析的步骤得到振型函数Yn(x)； ③计算Qn(t)和b，得到式(12)或(14)，求解主坐标φn(t)。 ---------------------------------------------我是分割线---------------------------------------------- 8.1 求阶梯杆纵向振动的频率方程。 解：振型函数：，其中 边界条件： ① ② 连续性条件： ③ ④ ②式代入③式得 ②式代入④式得 所以频率方程 即 ---------------------------------------------我是分割线---------------------------------------------- 8.2 长度为L、惯性矩为Is的轴两端各带有惯性矩为I0圆盘(单位厚度)，求轴和圆盘组成的扭振系统的频率方程，并在IsI0的情形下校验频率方程的正确性。 解：设扭转角。 边界条件： 所以 ① 式中，因为。 而振型函数Q(x)满足，其中 ② ②式代入①式得 二式联立得频率方程 ③ 当IsI0时，轴的惯性矩可忽略，相当于两端自由的两圆盘扭振系统（类似于课本p63例3-8，但边界条件不同），这是一个二自由度的扭振系统，用视察法可写出其微分方程为，其中为圆轴的扭转刚度。其特征方程为，可得，。 而此时③式左边，右边，所以，即，且，与圆盘扭振系统的频率吻合。 ---------------------------------------------我是分割线---------------------------------------------- 8.3 长度为L的轴一端固定，另一端自由，扭矩T0sinωt施加 于自由端，求轴的稳态响应。设轴截面的抗扭刚度为GIp，密度为ρ。 解：设稳态响应为。 边界条件： 所以 ① 而Q(x)满足 ，其中 ② ②式代入①式得 所以振型函数 稳态响应 ---------------------------------------------我是分割线---------------------------------------------- 8.4 初始状态静止，长度为l、两端固定、张力为T的弦中央受一阶跃力P作用，计算弦在P力作用下的振动位移响应。 解：（首先进行自由振动分析。） 振型函数 ，其中 ① 边界条件 ② ①式代入②式得 所以振型函数为 ③ （再进行受迫振动分析。） 微分方程 设响应，其中振型函数。于是 所以主坐标φn(t)满足 ④ 已知单自由度无阻尼系统受阶跃激励的响应，即方程的解为 所以④式的解为 系统响应 ---------------------------------------------我是分割线---------------------------------------------- 8.5 当集中载荷P以速度v在长度为l的简支梁上移动时，计算梁振动的位移响应。设t = 0时梁处在