数列求和问题的基本类型探讨（草稿）.docVIP

数列求和问题的基本类型探讨 电子邮箱zyl2518006@126.com,手机号电话07342518006；QQ：406426941 湖南祁东育贤中学 周友良 421600 湖南祁东一中 曾令军 421600 数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考的热点和重点。由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧作一归纳，以提高同学们数列求和的能力。 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式： 4、 例1． 已知，求的前n项和. 解：由， 由等比数列求和公式得 =＝＝1－ 是否存在常数a、b、c，使等式 12·+22·3+32·4+……+n2(n+1)=(an2+bn+c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论。 分析：这是一个开放性命题，可以从两个角度来解决。 解一：∵n2(n+1)=n3+n2 ∴12·2+22·3+…….+n2(n+1) =(13+12)+(23+22)+(33+32)+……+(n3+n2) =(13+23+33+……+n3)+(12+22+32+……+n2) =n2(n+1)2+n(n+1)(2n+1) =n(n+1)[3n(n+1)+2(2n+1)] =n(n+1)[3n2+7n+2] 令a=3, b=7, c=2，则对任意n∈N。都有原命题成立。 解二：假设命题成立，在等式中令n=1, 2, 3, 得 12·2=(a+b+c) 12·2+22·3=(4a+2b+c) 12·+22·3+32·4=(9a+3b+c) 即 a+b+c=12 4a+2b+c=28 9a+3b+c=50 解之，得a=3, b=7, c=2 往下再用教学归纳法证明。 12·2+22·3+32·4+……+n2(n+1)=(3n2+7n+2) 对一切n∈N都成立。（略） 评注：解法一分组后直接运用公式求和。 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 例3． 求和：………………………① 解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}{}的通项之积 当， 当 设………………………. ② （设制错位） ①－②得 （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得： ∴ 例4.已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令 ，求数列的前项和。 解析： ①-②得： 。 点评：设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列 的前项和求解，均可用错位相减法。 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个. 例5 求的值 解：设…………. ① 将①式右边反序得 …………..② （反序） 又因为 ①+②得 （反序相加） ＝89 ∴ S＝44.5 例6.设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和： 解析：因为 点评：此类问题还可变换为探索题形： 已知数列的前项和，是否存在等差数列使得 对一切自然数n都成立。 例7．已知函数，点，是函数图像上的两个点，且线段的中点的横坐标为． （Ⅰ）求证：点的纵坐标是定值； （Ⅱ）若数列的通项公式为，求数列的前m项的和； 讲解：这是一道函数、数列、不等式的综合问题．对于（Ⅰ），直接验证即可；对于（Ⅱ），观察的构成： ， 可知（Ⅰ）的结论又为（Ⅱ）作了铺垫；对于（Ⅲ），则应在（Ⅱ）的基础上，充分利用“恒成立”，结合函数、不等式的知识去解决．总之，本题层层递进，每一小题均为后一小题的基础，因此，从（Ⅰ）开始，认真走好每一步是解决好本题的关键． （Ⅰ）由题可知：，所以， 点的纵坐标是定值，问题得证． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：对任意自然数，恒成立． 由于，故可考虑利用倒写求和的方法．即由于： 所以， 所以， 四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 例8．求数列的前n项