常微分方程5new.docVIP

第五章 线性微分方程组 [教学目标] 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶线性微分方程解的性质与结构非齐次线性方程常系数齐线性方程常系数线性方程非齐次线性方程线性微分方程解的性质与结构非齐次线性方程常系数齐线性方程常系数线性方程线性微分方程解的性质与结构常系数线性方程　 （5.1） 的一阶线性微分方程组，其中已知函数和在区间上上是连续的。方程组（5.1）关于及是线性的. 引进下面的记号： 　 （5.2） 这里是矩阵，它的元素是个函数. 　　　 （5.3） 这里，，是矩阵或维列向量。 注意，矩阵相加、矩阵相乘、矩阵与纯量相乘等等性质对于以函数作为元素的矩阵同样成立。这样一来，方程组（5.1）可以写成下面的形式 　 （5.4） 引进下面的概念。 一个矩阵或者一个向量在区间上称为连续的，如果它的每一个元素都是区间上的连续函数。 一个矩阵或者一个维列向量： 　 在区间上称为可微的，如果它的每一个元素都在区间上可微。它们的导数分别由下式给出： 　 不难证明，如果矩阵，及维向量，是可微的，那么下列等式成立： （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 类似地，矩阵或者向量在区间上称为可积的，如果它的每一个元素都在区间上可积。它们的积分分别由下式给出： 　 现在我们给出（5.4）的解的定义： 定义１设是区间上的连续矩阵，是同一区间上的连续维向量。方程组 　 （5.4） 在某区间（这里）的解就是向量，它的导数在区间上连续且满足 ， 现在考虑带有初始条件的方程组（５.４），这里是区间上的已知数，是维欧几里得空间的已知向量，在这样条件下求解方程组称为初值问题。 定义2 初值问题 ,　　 　（5.5） 的解就是方程组（5.4）在包含的区间上的解，使得。 例2 验证向量 是初值问题 , 在区间上的解。 解　显然 因为和处处有连续导数，我们得到 因此是给定初值问题的解。 正如在第而章所看到的，当时，我们可以得到初值问题（5.5）的解的明显表达式，当时，情况就复杂多了。 在第四章中，我们讨论了带有初始条件的阶线性微分方程的初值问题。现在进一步指出，可以通过下面的方法，将阶线性微分方程的初值问题化为形如（5.5）的线性微分方程组的初值问题。 考虑阶线性微分方程的初值问题 　 （5.6） 其中，是区间上的已知连续函数，，是已知常数。我们指出，它可以化为下列线性微分方程组的初值问题 (5.7) 其中 　 事实上，令 这时 　 而且 现在假设是在包含的区间上（5.6）的任一解。由此，得知在上存在、连续、满足方程（5.6）且。令 其中,,,()，那么，显然有。此外， 这就表示这个特定的向量是（5.7）的解。反之，假设向量是在包含的区间上（5.7）的解。令 并定义函数，由（5.7）的第一个方程，我们得到，由第二个方程得到,，由第个方程得到，由第个方程得到 由此即得 同时，我们也得到 这就是说，是（5.6）的一个解。 总之，由上面的讨论，我们已经证明了初值问题（5.6）与（5.7）在下面的意义下是等价的：给定其中一个初值问题的解，我们可以构造另一个初值问题的解。 值得指出的是：每一个阶线性微分方程可化为个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不成立。例如方程组 ， 不能化为一个二阶微分方程。 5.1.2 存在唯一性定理 本节我们研究初值问题 ，　　 （5.5） 的解的存在唯一性定理。类似与第三章，我们通过五个小命题，采用逐步逼近法来证明定理。因为现在讨论的是方程组（写成向量的形式），所以有些地方稍微复杂些，而且要引进向量、矩阵的“范数”及向量函数序列的收敛性等概念；然而由于方程是线性的，所以有些地方又显得简单些，而且结论也加强了。总之，我们要比较第三章中的证明和现在的证明的异同，从对比中加深对问题的理解。 对于矩阵和维向量，我们定义它的范数为 　 设是矩阵，，是维向量，这时容易验证下面两个性质： １）　 ２）　 向量序列，，称为收敛的，如果对每一个数列都是收敛的。 向量函数序列