2009级985高等数学(下)及其参考答案 郑州大学.docVIP

2009~2010年第二学期 《微积分》期末考试试卷（A卷）及其参考答案（985） 共8页20题 考试时间：2010.7.6 上午9：00—11：30 考试方式：闭卷 题号 一二 三 四 五 六 总分 满分 得分 得 分 评卷人 评卷人 一.填空题（每小题3分，共 18分） （将答案填在题中横线上，不填解题过程） 1．平面上的抛物线绕轴旋转一周所得旋转曲面的方程为 解： 2．柱面在点处的切平面方程为 解：设 ，则 所以，切平面的方程为： 化简后，得： . 3．设函数，则 解：令，则，所以，； 同理，令，则，所以，故 4．设处处有连续的导数，，又曲线积分在全平面与路径无关，则 解：由于在全平面与路径无关，所以有 ，即 于是又由算得，故 5． 解：由二重积分的集合意义，知 等于上半球体的体积，故 6．函数在点处沿方向的方向导数 解：根据方向导数与偏导数之间的关系可知 得 分 评卷人 评卷人 二.单项选择题（每小题3，共 12分）（将正确选项前的字母填入题中的括号内） 7. 逐次积分 ； ； ； 解：积分区域是又圆周与直线所围城成.可视为区域 故根据化二重积分为二次积分的方法，知： 即选 注意：如视为区域，则在实际计算时，需要将其分成两小块分别计算. 8. 函数在点处 存在，不存在； 存在，不存在； 沿任何方向的方向导数存在； 连续. 解： ； 9．微分方程的特解形式为 ； ； ； 解：（一）与所求二阶常系数线性齐次微分方程为 其特征方程为 特征根为 （二）方程右端项 故可设方程的特解为 其中 为方程 的特解.其求法如下 因为，不是特征根，所以可设为 其中 为方程 的特解.其求法如下 因为，是特征根，所以可设为 故选 10. 设函数以为周期，在上 的级数的和函数在处的值 ； ； ； 解：由于 ，根据收敛定理知： 故选 得 分 评卷人 评卷人 三.（每小题6分，三个小题共18分） 11．设，其中具有连续的二阶偏导， 求 解：； 12. 设函数，又是由方程叙所确定的隐函数，求 解：（一）方程两边关于求偏导，得： 解得 （1） （二） （代入（1）式） 13．求曲线在点处的切线方程. 解法一：方程组两边关于求导，得： 将代入上式，得： 所以在点处的切向量 故曲线在点处的切线方程为： 解法二：先求曲面在在点处的切平面方程. 为此，令，则 所以，切平面的方程为： 化简后，得： 故曲线在点处的切线的一般式方程为： 进一步，化为点、向式为： 解法三：平面的法向量为； 曲面在在点处的切平面的法向量 故在点处的切向量 ∥ 所以曲线在点处的切线方程为： 得 分 评卷人 评卷人 四.（每小题9分，两个小题共18分） 14．求 其中曲线是上从点到点的一段弧. 解： ；. 则 （1） 由格林公式： 所以 15．求，其中为上半球面. 解： （1） ， （2） 所以 （其中 ） 得 分 评卷人 评卷人 五.（本大题共三小题，每小题满分为8分，共24分）. 16．求，其中为锥面被平面所截得部分的下侧. 解法一：（直