第一节 巧算有理数(含解答)-.docVIP

实数 在初中阶段，我们从有理数开始逐步对实数有了认识，知识有理数和无理数统称实数，并掌握了有关有理数、无理数的运算．我们关于数学问题的讨论范围，也慢慢地从有理数到了实数．关于实数其数系如下表所示： 实数 在本章中，我们主要讨论有理数的重要概念（相反数和绝对值）的应用，以及有理数运算中的一些技巧，并对有理数中的整数，从知识拓展的角度，研究整数的性质，如整除性、质数与合数、完全平方数等．然后对实数的另一部分无理数的一些运算，进行适当强化，应对升入高一级学校继续学习的需求． 第一节 巧算有理数 内容讲解 当负数引进后，数的范围扩大到有理数，我们学习了有理数及其运算．在实际进行有理数运算时，常常根据算式的特点，分析参加运算的各数的特征和排序规律．试一试用运算律，或者改变一下排序，以及采取有条件地先算一部分，后再算另一部分等不同方法．巧妙地简化运算过程，机智地获得解答，达到提高观察和分析能力的目的． 例题剖析 例1 计算． 分析：容易看出，分母相同，分子是1，3，5，…，295都是奇数．而1+295恰好是37的8倍．如果把这个式子“倒过来写”，两式处于相同位置的项相加其和均为8．注意到这样的和有74个，问题容易得解． 解：原式= =（）+（）+…（） =74×=592． 评注：本例求和可用公式S=．其中a1表示首项，an表示末项，n表示项数．上式中的两项和（），…，（），共有74个，即项数的一半． 例2 计算（++…+）（1++…+）-（1++…＋）（＋＋…＋）． 分析：观察上式括号内的各项，把两式各加上1就与另外两式相同．根据这一特点，可用字母代换而化简． 解：设x=1+＋…＋，y=1+＋…＋，则y-x=． 原式=（y-1）x-y（x-1） =xy-x-xy+y=y-x． ∴原式=． 评注：观察问题中各算式的特点，巧妙地用字母进行代换，使问题大大简化，变得易解． 例3 计算1×-1． 分析：我们采取“同形缩数”的办法，先解决计算101×99-199的问题，容易得知，这个问题可仿照（100+1）×99-199=9900+99-199=9900-100=9800来做，然后类比，原式易解． 解：原式=（1+1）×-1 =+- =-1 = 评注：在本例的计算中，应用了乘法分配律和加法结合律，使看似复杂的问题，经类比，较容易地找到了解题方法． 例4 计算。 分析：把式中各括号里的数排成下表，再观察表中这些数的特征，容易发现，只要利用交换律、结合律重新分组，把分母相同的数放在一组里（如表中斜行里的数），就容易求出和来． … … 解：原式＝（）-（）+（）-…-（）+ =（1+2+…9）-（1+2+…+8）+（1+2+…+7）-…-（1+2）+ =45-×36+×28-×21+…-+ =45-18+-+=33 评注：按一定规律将求和式中的各数，重新分组排序，是解决这类求和问题的关键． 例5 计算 分析：考虑到同分母时分子的特殊性，可简化运算，化繁为易． 解：原式＝20072006-20072007 =1）1） ＝20062006） =×10000=1000． 评注：一般地，由关系式（a+1）b-（b+1）a=b-a，本例中ab容易得到答案． 巩固练习 1．填空题： （1）计算-21×78+78×0.375-78×-=________． （2）求和=________． （3）计算1-2+3-4+5-6+7-…+4999-5000=________． （4）计算66666×55555-66665×22222=________． 2．选择题： （1）计算3-6+9-12+…-2007等于（ ） （A）1005 （B）1004 （C）1003 （D）-2007 （2）计算2005-{2004-2005×[2004-2003×（2004-2005）2006]}得（ ） （A）2003 （B）2004 （C）2005 （D）2006 3．将1，-,,-,,…按一定规律排成下表： 1 第1行 -