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辽宁省沈阳二中高三数学函数全章课件:10反函数
课外练习 * 一、定义 设函数 y=f(x) 定义域为 A, 值域为 C. 如果从式子 y=f(x) 解得 x=?(y), 且对于 y 在 C 中的任何一个值, x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应, 那么式子 x=?(y) 就表示 x 是变量 y 的函数, 把 x=?(y) 叫做函数 y=f(x) 的反函数, 记作: x=?(y)=f-1(y). x=f-1(y) 一般改写成 y=f-1(x), 其定义域为 C, 值域为 A. 二、定义理解 1.函数存在反函数的条件: 映射 f: A→C 为一一映射. 2.函数在其定义域区间上可能不存在反函数, 但可以在定义域区间的某个子区间上存在反函数. 3.反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域. 注意: 反函数的定义域不能由其解析式来求. 三、简单性质 1.互为反函数的两个函数的图像关于直线 y=x 对称; 2.单调函数一定存在反函数, 但有反函数的函数不一定是单调函数; 3.奇函数不一定有反函数, 偶函数在一般情况下无反函数; 4.互为反函数的两个函数在各自的定义域区间上具有相同的 单调性; 5.若 b=f(a), 则 a=f-1(b); 若 a=f-1(b), 则 b=f(a), 即: 若 a∈A, b∈C, 则 f-1[f(a)]=a, f[f-1(b)]=b. 四、求函数的反函数的步骤 2.由 y=f(x) 解出 x=f-1(y) (即用 y 表示 x); 3.交换 x=f-1(y) 中的字母 x, y, 得 f(x) 反函数的表达式 y=f-1(x), 1.求函数 y=f(x) 中 y 的取值范围, 得其反函数中 x 的取值范围; 五、函数与其反函数图像的交点问题 如果一个函数与其反函数的图像有公共点, 则公共点在直线 y=x 上, 或者关于直线 y=x 对称地成对出现. 4. 标出 y=f-1(x) 中 x 的取值范围. 例如函数 y = -3x+7 ; 又如函数 y =( ) . 16 1 x 1.求下列函数的反函数: (1)y=2x2-x+1(x≤-1) (-1≤ x ≤0) (0x ≤1) (3) (4).求函数 y=x|x|+2x 的反函数. 解: 原函数可写成: y= x2+2x, x≥0, -x2+2x, x0. 即 y= (x+1)2-1, x≥0, -(x-1)2+1, x0. 当 x≥0 时, y≥0, 由 y=(x+1)2-1 得: x=-1+ y+1 ; 当 x0 时, y0, 由 y=-(x-1)2+1 得: x=1- 1-y . 故所求反函数为 y= -1+ x+1, x≥0, 1- 1-x , x0. 2.若点(1,2)既在函数 的 图象上,又在它的反函数的图象上,则 实数a=________,b=________. 3.若 则 4.若 的图象关于y=x对称,则 m=____ a=-3,b=7; m=-1 5.设 ,函数y=g(x)的图象与 f-1(x+1)的图象关于直线y=x对称,则 g(3)的值_____ -1 1 x o y -1 1 x o y 1 x o y 1 -1 1 x o y (D) (A) (B) (C) 6、设函数 f(x)=1- 1-x2 (-1≤x≤0), 则函数 y=f-1(x)的图像可能是 ( ) B 7、求函数 y= 1-x 与它的反函数图像的交点坐标. (2)( , ); (1, 0); (0, 1). 5-1 2 5-1 2 *
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