导数在研究函数的应用.pptVIP

名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科） 导数在研究函数中的应用 利用导数求单调性 利用导数研究极值 利用导数求最值 名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科） 1．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值； (2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．解析：(1)由题意得f ′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2) 又， 解得b＝0，a＝－3或a＝1 2．已知函数． （1）若为的极值点，求实数的值； （2）若在上为增函数，求实数的取值范围； （3）当时，方程有实根，求实数的最大值． 解析：(1)(2) 因为在区间上为增函数， 所以在区间上恒成立． ①当时，在上恒成立， 所以上为增函数，故符合题意． ②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能， 所以上恒成立． 令，其对称轴为， 因为所以，从而上恒成立，只要即可， 因为， 解得． 3．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的导函数的图象关于直线x＝2对称． (1)求b的值； (2)若f(x)在x＝t处取得极小值，记此极小值为g(t)，求g(t)的定义域和值域． 因为，所以． 综上所述，的取值范围为． （3）若时，方程可化为，． 问题转化为在上有解， 即求函数的值域． 以下给出两种求函数值域的方法： 因为，令， 则 所以当，从而上为增函数， 当，从而上为减函数， 因此．而，故， 因此当时，取得最大值0． 1．设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f ′(x)0时，则函数y＝f(x)为增函数；如果f ′(x)0时，则函数y＝f(x)为减函数；如果恒有f ′( x)＝0，则y＝f(x)为常函数． 2．我们只是对可导函数来研究单调性，这样就将研究的范围局限于可导函数． 3．f(x)在区间I上可导，那么f ′(x)0是f(x)为增函数的充分条件，例如f(x)＝x3是定义于R上的增函数，但f ′(0)＝0，这说明f ′(x)0是非必要条件． 4．我们也可利用导数来证明一些不等式．如f(x)、g(x)均在[a、b]上连续，(a，b)上可导，那么令h(x)＝f(x)－g(x)，则h(x)也在[a，b]上连续，且在(a，b)上可导，若对任何x∈(a，b)有h′(x)0且h(a)≥0，则当x∈(a，b)时h(x)h(a)＝0，从而f(x)g(x)对所有x∈(a，b)成立． 5．设函数y＝f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有点x都有f(x)＜f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)． 6．如果对x0附近的所有点x，都有f(x)＞f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，极大值与极小值统称为极值． 7．函数极值的判断法则： (1)对于在x0处连续的函数，如果在x0附近的左侧f ′(x)0，右侧f ′(x)0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f ′(x)0，右侧f ′(x)0，那么f(x0)是极小值． 8．最值是一个整体性概念，是指函数在给定区间(或定义域)内所有函数值中最大的值或最小的值，最大的函数值叫最大值，最小的函数值叫最小值，通常最大值记为M，最小值记为m. 9．函数最值的存在性：在闭区间[a，b]上连续函数f(x)在[a，b]必有最大值与最小值． 10．求最大(小)值的方法：函数f(x)在闭区间[a，b]上最值求法： (1)求出f(x)在(a，b)内的极值； (2)将函数f(x)的极值与f(a)、f(b)比较，其中较大的一个是最大值，较小的一个是最小值． 1．利用导数求函数单调性的解题步骤： (1)求定义域； (2)求导； (3)解不等式(或因式分解)； (4)说出导函数f ′(x)的符号：大于或等于零；小于或等于零． (5)说出f(x)的单调性． (6)写出单调区间． 注意：(1)在说明f ′(x)的符号不要漏了“等于0”的情形； (2)写单调区间时，分离的同性区间要分开写，中间用“和”或“、”连接．3．利用导数求函数f(x)的极值的步骤： (1)求定义域； (2)求导； (3)解方程f ′(x)(或说出f ′(x)＝0的根)； (4)解不等式(或因式分解)； (5)说出导函数f ′(x)的符号：大于或等于零；小于或等于零； (6)说出f(x)的单调性； (7)利用可导函数求极值的定义，写出极值点和极值． 4.利用导数求函数f(x)的最值的步骤： (1)求定义域； (2)求导； (3)解不等式(或因式分解)； (4)说出导函数f ′