九年级数学直角三角形期末复习.docVIP

直角三角形期末复习 　　一、内容综述： 　　（－）三角函数间的关系 　　1.同角的三角函数间的关系 　　（1）平方关系 sin2A+cos2A=1. 　　（2）倒数关系 tanA·cotA=1. 　　（3）商数关系 tanA=, cotA=. 　　2.互为余角的三角函数间的关系 　　sin(90°-A)=cosA； 　cos(90°-A)=sinA. 　　tan(90°-A)=cotA；　 cot(90°-A)=tanA. 　　（二）直角三角形中的边角关系 　　1.三边之间的关系 a2+b2=c2 (勾股定理) 　　2.锐角之间的关系 A+B=90° 　　3.边角之间的关系 　　sinA=cosB=；　　cosA=sinB=； 　　tanA=cotB=；　　cotA=tanB=. 　　二、例题精选： 　　例1.如图，已知ABC=∠BCD=90°，AB=6, sinA=, CD=12.　求：D的四个三角函数值。 　　分析：由可解的RtΔABC中解出公共边BC的值，为解RtΔBCD提供条件，从而可求出D的四个三角函数之值。 　　解：在RtΔABC中，ABC=90°， 　　sinA==, 　　设BC=4x, AC=5x,由勾股定理，得 　　62+(4x)2=(5x)2 　　解得x=2, x=-2(舍去) 　　 BC=4x=4×2=8. 　　在RtΔBCD中，由勾股定理，得BD==4， 　　 sinD===, cosD===, 　　tanD===, cotD===. 　　例2.如图，在RtΔABC中，设BC=a, AC=b, AB=c,已知C=90°，b=8,A的平分线AD=，求B及a、c的值。 　　分析：本题以具有两个已知条件的RtΔACD作为突破口。在已知条件较多、且图形比较复杂时，往往从具备一定条件的直角三角形入手是解题的基本方法。 　　解：在RtΔACD中，AC=8，AD=， 　　 cos∠DAC==, ∠DAC=30°, 　　又 AD平分A， BAC=60°, ∠B=30°, 　　c=AB=2AC=16. 　　故a=c·sin∠BAC =16·sin60°=8. 　　例3.已知a,b,c为ΔABC中三个内角A，B，C的对边，当m0时，关于x的方程b(x2+m)+c(x2-m)-2·ax=0有两个相等的实数根，且sinC·cosA-cosC·sinA=0，试判断ΔABC的形状。 　　分析：判断三角形的形状，就是要从已知条件中找出边的关系或者角的关系。 　　解：由原方程，得(b+c)x2-2·a·x+bm-cm=0 　　Δ=0. ∴ 4a2m-4(b+c)(b-c)m=0 　　 a2-b2+c2=0, 即b2=a2+c2, 　　故ΔABC为直角三角形，B=90°, 　　 sinC·cosA-cosC·sinA=0, ∴ =, 　　即=， ·=·， a2=c2, a=c. 　　故ΔABC是等腰直角三角形。 　　例4.如果tanα=2, 求之值。 　　分析：把原式化成tanα的组合表达式，然后以tanα=2代入求值。 　　解：===. 　　例5.如图，已知：在ΔABC中，A=30°，B=45°，AB=10(1+)，求AC、BC。 　　分析：这是一个一般三角形，可过点C作CDAB于D，则把这个三角形分割成两个直角三角形。而且这两个直角三角形是具有一条公共边和一个特殊角的直角三角形，于是可使问题解决。 　　解法1：过点C作CDAB于D,令CD=x, 则BD=x, 　　A=30°，B=45°,∴ BC=x, AD=x, AC=2x, 　　又 AB=10(1+)， 　　 AD+BD=x+x=10(1+)，故x=10. 　　 CD=BD=10, AC=20, BC=10. 　　解法2：令BC=x, 则CD=BD=x, AD=x, AC=x. 　　有AD+BD=x+x=10(1+). 　　解之x=10即BC=10。 　　AC=x=20. 　　解法3：令AC=x, 则CD=BD=，AD=x, BC=x. 　　有AD+BD=x+=10(1+). 　　解之x=20，即AC=20。　　BC=x=10. 　　说明：（1）对于这类问题都可以采用作高的方法，把ΔABC分割成两个含特殊角的直角三角形来解。或者，我们换一种说法，可以认为使两个特殊直角三角形的一条直角边重合，构造出一个新的三角形。（2）当图形中有几个直角三角形时，可以根据解题的需要，适当的设未知数，使图中的几个直角三角形都能与所设的未知数建立联系，从而应用方程来解决问题。通过上述三种解法的比较，我们又可以发现法1较简单，也就是说设最小角所对边为x，所得方程最简便。另外