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目录 §1-1 杆件应变能的计算 §1-2 杆件应变能的普遍表达式 §1-4 莫尔积分 §1-5 图形互乘法 §1-8 功的互等定理和位移互等定理 * 第一章 能量法 第一章 能量法 §1-1 杆件应变能的计算 §1-2 杆件应变能的普遍表达式 §1-3 卡氏定理 §1-4 莫尔积分 §1-5 图形互乘法 §1-6 虚功原理 §1-7 剪力对弯曲变形的影响 §1-8 功的互等定理和位移互等定理 §1-1 杆件应变能的计算 一、拉压 ΔL F O A B ΔL F 在弹性范围内外力所作的功，全部转变为弹性体的应变能。即 W=VS l Δl F 二、扭转 φ T O A B φ T l φ T T §1-1 杆件应变能的计算 三、弯曲 θ M O A B θ M §1-1 杆件应变能的计算 M ρ θ M 拉压 扭转 弯曲 对于外力比较复杂，沿杆件轴线方向的内力为变量，或横截面面积沿轴线是变化的，则先求出dx微段的应变能。再积分求出杆件的应变能。 §1-1 杆件应变能的计算 杆件的应变能在数值上等于变形过程中外力所做的功。在线弹性范围内，外力由零开始缓慢增加到某一值，将外力做的功统一写成 式中 F——广义力； δ——与广义力对应的位移，即为广义力作用 点且与广义力方向一致的位移。称为广义位移。 §1-1 杆件应变能的计算 x 解： 求图示截面上的内力。即弯矩 积分求出梁的应变能Vs 在变形过程中，外载荷所做的功为 求图示悬臂梁的应变能Vs和自由端的挠度yA。已知梁的抗弯刚度为EI。 F B A 由于应变能Vs等于外载荷所做的功W。即VS=W 由该式得自由端的挠度 由该例题可以看出，只有当弹性体上仅作用一个广义力，且所求位移为相应的广义位移时，才可直接利用功能原理计算。 §1-1 杆件应变能的计算 例题1-1 在组合变形时，杆件横截面上同时有几种内力分量作用，为计算杆件的应变能，可取dx微段来研究。 这些内力对所研究微段来说，都是外力。由于各组力做功相互独立，互不影响，该微段上的外力做功可写为 §1-2 杆件应变能的普遍表达式 积分求出整个杆件的应变能为 该功等于微段内的应变能。即 §1-2 杆件应变能的普遍表达式 F1 F2 F3 F4 Δ1 Δ2 Δ3 Δ4 弹性体上作用载荷时，它的作用点也因物体变形产生位移，载荷在此位移上做功，其值等于弹性体的应变能。所以可用载荷做功来求应变能。 其中Δ1，Δ2 ，… Δi ，… Δn为F1，F2， … Fi，Fn共同作用下引起的各载荷作用点的位移。这一结论称为克拉贝依隆原理。 由于位移Δ1，Δ2 ，… Δi ，… Δn与外力F1，F2， … Fi，Fn之间是线性关系，则应变能是外力的二次齐次函数，所以应变能不能叠加。 §1-2 杆件应变能的普遍表达式 简单说明 C：先加F1，再加F2 D：先加F2 ，再加F1 §1-2 杆件应变能的普遍表达式 常力F1在Δl2上作功 F1 F2 F1 F2 F1 F2 E：同时加F1、 F2 A：F1单独作用 B：F2单独作用 注意：VS≠V1+V2 结论： 应变能不可叠加，即各个载荷分别作用时弹性体的应变能之和不等于各个载荷共同作用时弹性体的应变能。 应变能的大小仅与载荷的最终值有关，而与加载的次序无关。 §1-2 杆件应变能的普遍表达式 先加F0,再加F1、F2、…Fn （单位载荷法） F1 F2 Fn Δ1 Δ2 Δi Δn C A B A B F0 Δ0 C A B F1 F2 Fn Δ1 Δ2 Δi Δn §1-4 莫尔积分 令F0=1，即得计算位移的 莫尔积分 （单位载荷法） §1-4 莫尔积分 同时加F0、F1、F2、…Fn 应变能仅与载荷的最终值有关，而与加载的次序无关。 积分为正，则单位力做功为正，即载荷引起的位移和单位力的方向一致；反之，积分为负，位移和单位力的方向相反。Δi为广义位移，相应的单位力为广义力。 莫尔积分的一般表达式可写成 （单位载荷法） §1-4 莫尔积分 解:（1）在C点施加单位力 （2）分别写出实际载荷和单位力作用下的弯矩方程 （单位载荷法） §1-4 莫尔积分 例题1-2 梁的抗弯刚度EI为常量 试求C点的挠度。 F C B A 1 C B A （3）积分运算 解： 写出AB及BC段的弯矩方程 图示刚架的自由端A作用集中载荷F。刚架各段的抗弯刚度为EI。若不计轴力和剪力对位移的影响，试计算A点的垂直位移yA及截面B的转角θB。 F B A a