一元二次方程根的分布问题的认知分析和教学对策.docVIP

一元二次方程根的分布问题认知分析和教学对策 430070 武汉市关山中学 张璟怡 摘要：一元二次方程根的分布问题是我们教师很熟悉的问题,但是学生解决这类问题常常有些困难，笔者由三类不同解法着手研究，分别谈谈他们的特点、难点及难点如何突破及教学启示. 关键词：一元二次方程根的分布问题 解法分析 认知分析及难点突破 教学启示 一元二次方程根的分布问题是我们教师很熟悉的问题,但是学生解决这类问题常常不是那样的得心应手,畅快淋漓.是哪些原因禁锢了学生的思维，让他们止步不前.笔者饶有兴趣地进行了一番探究，有些心得与同行共商. 引例:已知关于x的一元二次方程的两根均大于1，求a的取值范围. 解法分析 一元二次方程根的分布问题大致有如下三类解法： 解法一：由韦达定理，利用及的关系，列出有关a的不等式组，求取a的范围. 解法二：利用求根公式，由已知两根都大于1，即小根，列出有关a的不等式，通过解根式不等式，求取a的范围. 解法三：利用一元二次函数，根据条件画出去大致图像，然后列出图像的充要条件，得到有关a的不等式组，求取a的范围. 认知分析及难点突破 上述三类解法从不同方面着手研究，涉及知识点、思想方法都有所不同，难点当然也有所不同.下面就三类解法分别谈谈他们的特点、难点及难点如何突破. （1）解法一是用韦达定理解决根的分布问题.怎样正确的利用韦达定理.首先来看看解题一过程中经常犯的一个错误，，故；其次来看看错误的根源在哪里及是受到那些知识的影响形成的思维定势，造成的错误.不妨用反例驳倒上述结论.当时，，，但两根不全大于1，所以上述结论有误.另外，学生将等价转化时是利用一元二次方程有两正根的充要条件是进行了知识的负迁移，得到上述结论；再次来寻找的充要条件.可等价转化为，它的充要条件是，即，再由韦达定理及可得；最后为突破上述难点作如下拓展: 拓展一将引例中一元二次方程有两根改为均小于a的充要条件是， 拓展二将引例中一元二次方程有两根改为一根大于a，另一根小于a的充要条件是， 拓展三将引例中一元二次方程有两根改为一根小于a之间，另一根大于b a b 的充要条件是. 小结：（1）对于一元二次方程有两根，两根均大于a、两根均小于a及一根大于a，另一根小于a利用韦达定理解题较方便；（2）两根均大于a、两根均小于a及一根大于a，另一根小于a的充要条件寻找过程就是将问题等价转化为两根之积、两根之和的不等关系的过程，即保证能用利用韦达定理解决问题；（3）上述拓展三的充要条件不是，因为此条件无法进一步利用韦达定理解决. （2）解法二是用求根公式解决根的分布问题.由于求根公式带有根式，并且对根式不等式的解法的不熟练成为用此种方法解决问题的拦路虎.在高中阶段由于解根式不等式的要求不断降低，因此用求根公式解决根的分布问题着实困难,解题过程中需要注意下列两个充要条件:的充要条件；的充要条件或，但如果一元二次方程能因式分解，即用求根公式不存在根号时，此法不失为解决根的分布问题的一种好方法.如方程在上有解，求a的范围？ 或，故或，得或，即. （3）解法三是用一元二次函数的观念来解决根的分布问题.在初中阶段学生就已经接触过函数.不过，那时学生对函数的认识大多停留在初步和感性的层面，表现为重在运算，即进去一个自变量，出来一个对应的唯一函数值.进入高中，学生开始接触函数的性质，但由于函数性质的抽象性，导致许多学生惧怕函数. 那么如何能使学生主动地、有意识的利用一元二次函数观点解决根的分布问题呢?首先二次函数的所有性质都可以借助其图像表现出来,因此必须借助二次函数的图像，以减轻学生的思维负担，从而克服函数的抽象性.那么帮助学生全面考虑问题，画出满足题意的所有二次函数图像是关键的一步；其次由图像概括归纳出图像的共性，实现由图像语言转化为数学符号语言的目的.在初中我们已经掌握了二次函数（1）图像开口方向与二次函数的二次项系数a有关；（2）图像与x轴交点个数问题与有关；（3）函数图像顶点的位置与对称轴有关；此外，（4）图像与x轴交点的具体位置还受到函数值的正负影响，如开口向上的二次函数，函数图像与x轴的两个不同交点都在y轴的左侧或右侧，则；函数图像与x轴的两个不同交点一个在y轴的左侧另一个在y轴右侧，则.因此若已知函数的零点落在某个区域内,即已知方程根分布的区域，必须考虑区域端点函数值与0的关系.这样满足某类特征的二次函数图像可以由上述四个方面唯一确定，有时这四个方面有从属关系，只需研究其中几个方面即可.最后,还应该通过更新条件,让学生自己在题目的变化中逐步认识和接纳数形结合的数学思想,同时提高学生诸如分类、概括等的解题能力.如将引例中一元二次方程有两根均大于1作如下变化：变化一：两根均小于1，求a的取值范围; 变化二：一根在之间，另一根在之间,求a的取值范围; 变化三：在之间