3.4等比数列(一课时).docVIP

等比数列（第一课时） ? 我们已经知道，在“西萨的故事”中西萨要求的麦粒数组成的数列是：1，2，22，23，262，263 ① 于是西萨获得麦粒数是1＋2＋22＋23＋…＋263＝264－1＝18446744073551615． 有人算过，每一立方米的容量，大约可以贮放1500000粒麦子，这就是说，西萨获得的赏赐要有12000000000000＝1.2×1013立方米的地方来贮藏，假若仓库高4 m，宽10 m，那么它的长就达3×108 km——约等于地球到太阳的距离的2倍，也相当于绕地球赤道7000圈那么长，它的总量相当于全世界在两千年内所生产的全部小麦！ 由此看来，这个印度皇帝根本无法付出这笔奖赏，不过这些麦粒数的和264－1是怎样算出来的呢？这需要我们研究数列①的特点． 这个数列与等差数列不同，其特点是，从第二项起，每一项都是前一项的2倍，或者说，每一项和它前一项的比都是2． 再看一个例子，某人有人民币x元，假设储蓄的年利率为r（0r1），且r保持不变，将x元人民币存入银行，一年后取出，则本息共计x＋x·r＝x（1＋r）元；再将这x（1＋r）元存入银行，一年后再取出，得本息共计x（1＋r）＋x（1＋r）·r＝x（1＋r）2元 ；再将这x（1＋r）2元存入银行……如此每年从银行取出的钱数组成一个数列：x，x（1＋r），x（1＋r）2，…，x（1＋r）n，… ② 这个数列也是从第二项起，每一项都是前一项的（1＋r）倍，或者说，每一项和它前一项的比都是1＋r． 具有上述特点的数列，我们称为等比数列．等比数列在实际生活中有广泛地应用，本节将系统学习等比数列的基础知识和计算方法． ? 【学习目标】 （1）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能应用通项公式解决一些简单问题． （2）理解等比中项的概念，并能运用它解决相关问题． ? 【学习障碍】 1．对等比数列的概念理解不够全面，做题时仍有这样或那样一些错误． 2．n个数成等比数列，如何用最少的字母、最简洁的形式表示出这n个数，容易出现错误．表达形式并导致错误结果． 3．求等比中项或开偶次方求公比q时，往往会丢掉负根． 4．对于可以转化为等比数列的某些数列，由于不熟悉，看不出项与项之间的内在联系，导致求通项an时出现困难． ? 【学习策略】 Ⅰ．学习导引 1．阅读课本P124~126． 2．本节课主要学习以下三个方面的问题： （1）等比数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．公比通常用字母q表示（q≠0）． （2）等比数列的通项公式：根据等比数列的定义＝q（n≥2，且n∈N*），归纳出通项公式为an＝a1qn－1（n∈N*） （3）等比中项定义：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． G是a与b的等比中项G2＝abG＝±． Ⅱ．知识拓宽 1．等比数列的判定方法： （1）＝q（q是不为0的常数，n∈N*）{an}是等比数列． （2）an＝cqn（c，q均是不为0的常数，n∈N*）{an}是等比数列． （3）an＋12＝an·an＋2（an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*）{an}是等比数列． 2．根据等比数列的定义，立即可以得到下面的四个结论： （1）a1≠0，q≠0对n∈N*，an≠0； （2）{an}递增；{an}递减． （3）q＝1{an}是常数数列． （4）q0{an}是摆动数列． 3．由于等比数列的通项公式an＝a1qn－1可以整理为an＝（）·qn，因此，等比数列{an}，即{·qn}中的各项所表示的点（n，kqn）离散地分布在第一象限或第四象限，其中k＝，并且这些点都在函数y＝k·qx（x∈R）的图象上． 4．通项公式的推广：如果{an}是公比为q的等比数列，那么an＝am·qn－m（怎样证明？） Ⅲ．障碍分析 1．怎样理解等比数列的概念？ 对等比数列概念的理解要注意： （1）由定义不难得到等比数列的递推形式为＝q（常数）．也就是说，等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能是0． （2）“从第二项起”是因为首项没有“前一项”． （3）均为同一常数，体现了比的意义，同时还要注意公比是每一项与前一项之比，防止前后次序颠倒． （4）递推形式an＋1＝anq与＝q并不等价，等比数列要求an≠0且q≠0． （5）常数列都是等差数列，但不都是等比数列．因为各项都是0的数列是等差数列而不是等比数列．等差数列与等比数列的异同点如下表： ? 不同点 相同点 等差数列 （1）强调每