3.5等比数列的n项和(第一课时).docVIP

等比数列的前n项和（第一课时） ? 研究数列的主要问题之一，就是求数列各项（或某些项）的和，在§3．3中，我们研究了求等差数列前n项和的办法，本节我们将从数列本身的特点出发，寻求有效的方法求等比数列的前n项和． ? 【学习目标】 1．掌握等比数列的前n项和公式的推导，分清公式在公比等于1与公比不等于1的两种不同形式，会进行分类讨论． 2．能利用等比数列求和公式解决一些简单问题． ? 【学习障碍】 1．对等比数列求和公式的条件关注不够，导致解题不够严密． 2．对等比数列求和公式的推导方法理解不够深刻，运用不够灵活． ? 【学习策略】 Ⅰ．学习导引 1．阅读课本P127～130． 2．本课时课本首先探讨了求等比数列前n项和的方法，然后通过四个例题从四个方面给出了求和公式的应用． （1）关于求和公式的推导，课本是通过一个具体的等比数列{2n－1}的前64项和S64＝1＋2＋4…＋263与它的2倍2S64＝2＋4＋8＋…＋263＋264的比较，看出它们之间的差异，从而类比到一般的等比数列，把Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1与qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn 进行比较，得（1－q）Sn＝a1－a1qn＝a1（1－qn） 进而得到q≠1时，Sn＝，q＝1时，Sn＝na1． 课本中求和公式的这一推导方法称为“乘比错位相减法”，其特征是先乘一个公比，再错项后相减．学习中要注意掌握这一方法． 在应用公式求和时，应注意到公式的使用条件为q≠1．故当q＝1时应按常数列求和即Sn＝na1．在含字母参数的等比数列求和时，应分类讨论q＝1与q≠1两种情况． 等比数列的前n项和公式在q≠1时有两种形式： Sn＝ 在使用时要视具体情况灵活选用． （2）关于课本中给出的四个例题．例1是已知a1、q及n求Sn，是对公式的直接应用；例2是数列在经济生活中的应用，其实质是已知a1，q，Sn求n，要运用公式，通过解方程来得到．例3是混合数列求和问题，要将原数列拆分组合，转化为两个等比数列求和问题；例4是利用Sn讨论an的相关问题，在解题过程中使用了整体解决问题的思想． Ⅱ．知识拓宽 1．等比数列的前n项的和公式还有以下证法： （1）用乘法公式证明． Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＝a1（1＋q＋q2＋…＋qn－1） ＝·（1－q）（1＋q＋q2＋…＋qn－1）＝． （2）用裂项相消法证明． ∵q≠1，∴Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1 ∴Sn＝ ＝． （3）用解方程的思路证明． ∵Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＝a1＋q（a1＋a1q＋…＋a1qn－2）＝a1＋q（Sn－a1qn－2） ∴Sn＝a1＋q（Sn－a1qn－1） ∵q≠1，∴解关于Sn的方程，可得Sn＝． （4）用等比数列的定义证明． ∵{an}是等比数列，∴． ∴＝q，即＝q． 于是Sn＝． 2．由一个数列的前n项和Sn可以判断这个数列是否是等比数列．由于非常数列的等比数列的前n项和Sn＝．可以看出，式子的组成是由一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项为互为相反的数，由此可以根据前n项和公式判断等比数列，即，非常数列的等比数列是Sn＝aqn－a（a≠0，q≠0，n∈N*）的充分必要条件． 3．等比数列前n项和公式有时常变为如下形式使用：． Ⅲ．障碍分析 1．怎样合理选择公式解答等比数列问题？ ［例1］在等比数列{an}中，已知Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1与n． 解：由Sn＝及通项公式an＝a1qn－1得 即 ∴2×96－a1＝189，a1＝3； 2n－1＝＝32，n＝6． 点评：通项公式与前n项和公式共含有5个量，知道其中3个便可求出其余2个，共10种情况，这就是“知三求二”法． 本题也可利用公式Sn＝先求出a1，再利用公式an＝a1qn－1求出n． 2．怎样利用拆项求和法解答数列求和问题？ ［例2］已知an＝－4＋3n，bn＝xn，求数列{an＋bn}的前n项和Sn． 思路：拆项求和，讨论x＝1与x≠1． 解：Sn＝（a1＋b1）＋（a2＋b2）＋…＋（an＋bn） ＝（a1＋a2＋…＋an）＋（b1＋b2＋…＋bn） ＝T1＋T2． 又T1＝（a1＋an）＝ ［（－1）＋（－4＋3n）］＝（3n－5）， 而 T2＝x＋x2＋…＋xn，要讨论三种情况： （1）x＝0时，T2＝0； （2）x＝1时，T2＝n； （3）x≠0且x≠1时，T2＝ 点评一：在求T2时，容易丢掉（1）（2）两种情况．一般对含参数求和问题要分类讨论进行． ∴Sn＝，（x＝0） Sn＝，（x＝1） Sn＝，（x≠0且x≠1） 点评二：拆项求和，这是常用的求和方法．一般地，一个数列由n个特殊数列组成，即有an＝bn＋cn＋…＋