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第一节 传递函数 一、传递函数的概念 为了描述控制系统中每一个部分或整个系统的输入变量与输出变量之间的关系，最常用的就是传递函数。控制系统中的任意一个部分理论上讲都可以有多个输入变量和输出变量，如图2－l所示。 当只考虑一个输入量与一个输出量之间的关系时，就简化为图2－2。 如果描述该系统的微分方程已知为 （2-1） 对方程（2－l）进行拉普拉斯变换（设初始条件为零），得 aOs2Y（s）＋a1sY（s）＋a2Y（s） b0sX（s）＋blX（s） 整理得 （2-2） 方程2－2中的G（S）就叫做方程2－l描述的系统的输入变量x与输出变量y之间的传递函数。 传递函数的使用，使得控制系统的分析非常方便。 二、拉普拉斯变换 拉普拉斯变换将t域（时域）的函数变换为S域（复域）的函数，以带来运算和分析的方便。这里不做严格的数学方法介绍，完全从实用的角度介绍一些结论和常用函数在t域和S域之间的对应关系。所幸运的是，能在实际中产生的信号总有相对应的拉普拉斯函数。 设：①f（t）为实域函数，且当t＜0时f（t） 0； ②s为复变量，F（s）为复域函数； ③ 为拉普拉斯（算子）变换的运算符号。 定义f（t）的拉普拉斯变换为 （2-3） 1、常用函数的拉普拉斯变换 （l）阶跃函数 设函数f（t）为符合如下条件的阶跃函数： f（t）＝0 （t＜0＝ （2－4） f（t） A 常数 （ t ≥0） 该函数的拉普拉斯变换用 〔f（t）〕表示，得 （2-5） 当A l时，称阶跃函数为单位阶跃函数，记为u（t），此时的拉普拉斯变换为 （2-6） （2）斜坡函数 没函数f（t）为符合下列条件的斜坡函数： f（t）＝0 （t＜0 （2-7） f（t） At （t≥0） 斜坡函数的拉普拉斯变换为 （2-8） （3）指数函数 设有符合如下条件的指数函数： f（t） 0 （t＜0＝ f（t）＝Ae-αt （t≥0） 式中，A和α为常数，指数函数的拉普拉斯变换为 （2-10） （4）脉冲函数 设有符合如下条件的脉冲函数： 0＜t＜t0＝ 2-11 f（t）＝0 （t＜0,t＞t。） 如图2－5所示，该脉冲函数的拉普拉斯变换为 〔f（t）〕 F（S）＝A 2-12 A等于1时的脉冲函数称为单位脉冲函数，记为δ（t），此时 〔f（t）〕＝F s l 2-13 （5）正弦函数 设正弦函数为 f（t）＝O （ t＜ 0＝ f（t）＝Asin（ωt）　（t≥0） 2-14 式中，A和ω为常数，该正弦函数的拉普拉斯变换为 2-15 2、拉普拉斯变换定理 （l）平移定理 设函数f（t）及平移后的f（t－α）如图2－6所示，则 2－16 图2-6 f t 和f t-α （2）微分定理 2-17 如果f（0） 0，则 2-18 如果f（t）及其各阶导数的所有初始值都为0，则 2-19 （3）积分定理 （2-20） f-1（0）是∫f t dt在t＝0时的值，如f-1（0）为 0，则 2-21 （4）线性定理 2-23 （5）终值定理 表明可以根据F（S）表达式，求取f（t）在t＝∞处的值： 2-24 6 初值定理 2-25