人教高一数学值域和单调性讲义.docVIP

第二节 一、函数值域的求法： 求函数值域，必须首先确定函数定义域。 1、常规方法： （1）通过图像求值域： 适用于能画出图像的函数，如； （2）配方法：对于求二次函数类值域的习题用配方法来求解； 2、分离常数法（分式） 例如，其值域为： 关键：且 判别式法 适用于形如，（不全为零且分式不可约的式子） 换元法：适用于无理数中含自变量的函数，如。 注意：设，必须确定t的取值范围。 对于一些复杂的或者复合函数，要逐层的求值域。 题型一、求一般函数的值域： 例1、求下列函数的值域： ； ； ； 例2、求下列函数的值域。 ，； ； ； 题型二、求复合函数的值域： 对于复合函数，要逐层求解，设内层函数为t，求出内层函数的值域，内层值域即外层函数的定义域，再利用函数性质求解。 例3、求值域：。（逐层求解值域） 例4、求的值域。（复合函数的值域） 二、函数的单调性 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数，反之为减函数。 注意： （1） 单调性定义的理解： 任意性：即从定义域中任意选取x1，x2，证明单调性时不可随意用两个特殊值代替x1，x2； 有序性：即通常规定x1x2； 同区间性：即x1，x2属于同一区间，三者缺一不可。 （2）对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性的问题，因此在写单调区间时，可以不包含区间端点，也可以不包含区间端点，但当函数在某些点无意义时，单调区间就不包含这些点。 如：的增区间为，也可以写为。 而函数在上是减函数，但是不能写成在上为减函数，因为当时，函数无意义。 （3） 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质。 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间： 单调区间可以是整个定义域。例如在整个定义域范围上是增函数，在整个定义域上是减函数； 单调区间也可以是定义域的真子集，例如在上不具有单调性，但在上是减函数，在上是增函数； 单调区间一般不可以取并集，如在上递减，在上也递减，但是不可以说在上单调递减。 在特殊情况下，可以把单调区间取并集，若f(x)在上都是增或者减函数，即两个区间上单调性相同，而且函数的两个区间都包括同一个端点，则可以说函数f(x)在上是增或者减函数。 例5、定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有，则必有（ ） 函数f(x)先增后减； B、函数f(x)先减后增 ； C、函数f(x)在R上是增函数； D、函数f(x)在R上是减函数； 3．判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取x1，x2∈D，且x1x2； 作差f(x1)－f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。 第二步是关键，在变形中尽量化为几个最简因式乘积或商的形式，且因式尽量有因式。 例6、研究函数的单调性：。 注：对于函数时，不难证明，其在上是减函数，在上是增函数。 例7、证明函数在其定义域内是减函数。 二、函数单调性（单调区间）的判别： 1、直接法：对于熟悉的函数，比如一次函数、二次函数、反比例函数等，则可以直接判别它们的单调性，求出其单调区间； 2、定义法：按照证明函数单调性的五个步骤来进行。 3、运算性质法： （1）当a0时，函数与的单调性相同，当a0时，函数与的单调性相反； （2）当函数恒为正或者恒为负时，与的单调性相反； 若，则与的单调性相同； 若与的单调性相同，则+的单调性与和的单调性相同； 若与的单调性想反，则-的单调性与的单调性相同。 例8、函数的单调递减区域为( ) A、 B、 C、 D、 单调性的应用技巧： 用于比较函数值的大小： 例9、已知函数在上是减函数，试比较与函数的大小。 利用单调性求参数的取值范围： 例10、已知在上是减函数，求实数a的取值范围。 例11、已知函数在R上是增函数，则a的取值范围是（ ）