3-4刚体绕定轴转动的动能定理解析.pptVIP

大学物理学 刘成林等编 第3章 刚体力学 * 一、力矩作的功 在刚体转动中, 如果力矩的作用使刚体发生了角位 移, 那么该力矩也作了功 。 因为dsi = ri d?, 并且cos?i = sin?i , 所以 假设作用于以z 轴为转轴的刚体上的多个外力分别是 在刚体转动中, 外力 所作的元功为 §3.4 刚体绕定轴转动的动能定理 式中Mzi 是外力Fi 对转轴Oz的力矩。 在整个刚体转过d?角的过程中，n个外力所作的 总功为 式中 是作用于刚体的所有外力对Oz轴的力 矩的代数和, 也就是作用于刚体的外力对转轴的合外 力矩Mz 。 如果刚体在力矩Mz 的作用下绕固定轴从位置?1转 到?2 , 在此过程中力矩所作的功为 力矩的瞬时功率可以表示为 式中?是刚体绕转轴的角速度。 设刚体绕固定轴Oz以角速度? 转动,各体元的质量 分别为?m1 , ?m2 , … , ?mn ,各体元到转轴Oz的距 离依次是r1 , r2 , … , rn。 n 个体元绕Oz轴作圆周运 动的动能的总和为： 二、刚体的转动动能 (Rotational kinetic energy ) 式中 称为刚体对转轴的转动惯量 。 代入动能公式中, 得到刚体转动动能的一般表达式 刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上是相似性的。 用J 表示： 三、刚体定轴转动动能定理 根据功能原理, 外力和非保守内力对系统作的总功等于系统机械能的增量。对于刚体一切内力所作的功都为零。对定轴转动的刚体 , 外力的功即为外力矩所作的功; 系统的机械能为刚体的转动动能。 将转动动能的具体形式代入上式并积分, 得 定轴转动的刚体,外力矩作的功等于刚体转动动能的增量。这就是作定轴转动刚体的动能定理。 (1) 从开始制动到停止, 飞轮转过的角度； (2) 闸瓦对飞轮施加的 摩擦力矩所作的功。 解：为了求得飞轮从制 动到停止所转过的角度? 和摩擦力矩所作的功A, 必须先求得摩擦力、摩擦力矩 和飞轮的角加速度。 例一个转动惯量为2.5 kg?m2 、直径为60cm 的飞轮，正以130 rad?s?1 的角速度旋转。现用闸瓦 将其制动, 如果闸瓦对飞轮的正压力为 500 N,闸瓦 与飞轮之间的摩擦系数为0.50。求： d 飞轮 闸瓦 闸瓦对飞轮施加的摩擦力的大小等于摩擦系数与 正压力的乘积 方向如图所示。摩擦力相对z 轴的力矩就是摩擦 力矩, 所以 摩擦力矩的方向沿z轴的负方向, 故取负值。根据 转动定理 , 可以求得飞轮受到摩擦力矩作用时的角 加速度，为 (1) 对于匀变速转动, 从开始制动到停止, 飞轮转过 的角度? 可由下式求得: 所以 (2) 摩擦力矩所作的功 m2 m1 例 5：质量为 m1 的物体置于完全光滑的水平桌面上 , 用一根不可伸长的细绳拉着 , 细绳跨过固定于桌子边缘的定滑轮后，在下端悬挂一个质量为 m2 的物体 , 如图所示。已知滑轮是一个质量为 M ,半径为r 的圆盘, 轴间的摩擦力忽略不计。求滑轮与 m1 之间的绳子的张力 、滑轮与 m2 之间的绳子的张力 以及物体运动的加速度 。 解：物体m1、m2和滑轮的受力情况如图所示。 列方程 T1 =m1 a （1） m2 g ? T2 = m2 a （2） 对于滑轮 （3） 辅助方程 r? = a （4） 解以上四个联立方程式, 可得 α ） 此题还可以用能量的方法求解。在物体m2下落 了高度h时, 可以列出下面的能量关系 （5） 式中v是当m2下落了高度 h 时两个物体的运动速率, ?是此时滑轮的角速度。 因为 , , 所以得 由此解得 （6） 将 v 2 = 2 a h 代入 (6) 式, 可以求得两个物体的加速度 根据 , 立即可以求得张力T1 根据 或 可以立即算出张力T2 以上两种方法，都是求解这类问题的基本方法, 都 应该理解和掌握。