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电磁场、微波技术与天线 3-3 圆波导 电磁场、微波技术与天线 许 明 妍 北教6-108 myxu@cauc.edu.cn 本节主要内容 1 圆波导中场方程的求解 2 圆波导的传输特性 3 圆波导中三个重要模式 3 圆波导中三个重要模式——TE11模 * * 1 圆波导中场方程的求解（1/6） 分析圆截面波导导行电磁波的方法步骤，与分析矩形截面波导时相似，不过对于圆截面波导采用圆柱坐标系会更加方便。如图所示，圆截面波导轴线与坐标系z轴重合，其横向有变量r（最大值为横截面圆半径R）和?。 在与分析矩形截面波导相同的前提条件下同样可以得到矢量波动方程 我们可把矢量波动方程化为关于E和H的各三个标量方程，只有纵向分量 和 的方程仍具有矢量方程的形式，且只含一个待求函数。 以关于 的标量方程为例，在圆柱坐标系中展开来写应为 用分离变量法求解，设方程解式为 1 圆波导中场方程的求解（2/6） 将所设解式代入方程，并令 经过整理后可得 变量分离，得到如下两个常微分方程 1 圆波导中场方程的求解（3/6） 而含参型贝塞尔（Bessel）方程，其解为 式中 是第一类m阶贝塞尔函数， 是第二类m阶贝塞尔函数（亦称Neumann函数），它们的数学表达式很复杂，通常只给出函数曲线或函数表。这样就可写出 和 的通解 解式中的常数 要由波源及边界条件来确定。 1 圆波导中场方程的求解（4/6） 考察 。当 时函数值应不变，即 参数m应为整数。 再则，当 ，即波导轴线上，解式中 这不符合圆波导内导行波的场量为有限值的事实，因此 这样 1 圆波导中场方程的求解（5/6） 由麦克斯韦方程中两个旋度方程在圆柱坐标系中的展开式，可得到圆截面波导内场的横向分量用纵向分量表示的关系式 。 1 圆波导中场方程的求解（6/6） 2 圆波导的传输特性（1/9） 圆波导不能导行TEM波，因为 和 不可同时为零，否则将导致全部场量为零。这一点和矩形截面波导是一致的。 圆波导中也同样可以存在多种模式，因为参数m可以任取整数。在圆截面波导中 和 之一为零是可以的，这就是TM类模和TE类模，统称为正规模。 TM类模（E波） ，即m阶第一类贝塞尔函数的第n个根。 圆波导中TM类模的场量表达式 2 圆波导的传输特性（2/9） 用截止波长表示，TM类模式的截止波长 为 这样对于每一组m和n的取值，就是一个确定的模式，记为TMmn。标数m和n，其中贝塞尔函数的阶数m表示在横面上圆周方向上场量幅值分布的驻波数，其中根序数n则表示半径方向上场量幅值分布的过零次数。这就是说圆波导中不同模式波的幅值横向分布式是不一样的。 2 圆波导的传输特性（3/9） 那么，圆波导中导行TMmn波的条件是 2 圆波导的传输特性（4/9） TE类模（H波） ∴ 圆波导中TE类模式的场量表达式 TE类模的截止波长为 圆截面波导导行TEmn波的条件是 从以上分析可知，圆截面波导中正规模的截止波长 与波导口径尺寸R 有关。正规模场量幅值的横向分布，在圆周 方向服从正弦、余弦规律，在半径r方向服从第一类贝塞尔函数规律。 2 圆波导的传输特性（5/9） 模式 Pmn,（TMmn） P’mn,（TEmn） TE11 1.841 3.41R TM01 2.405 2.62R TE21 3.054 2.06R TE01, TM11 3.832 3.832 1.64R TM21 5.135 1.22R TM02 5.520 1.14R TE02, TM12 7.016 7.016 0.9R … 2 圆波导的传输特性（6/9） 由模式图可知，圆截面波导中截止波长 最长的模式，即主模是TE11模，其截止波长 。以TE11模单模传输的波长范围是 2 圆波导的传输特性（7/9） 两种不同模式的截止波长 相同。贝塞尔函数有这样的性质，即 ，就是说 与 有相同的根，所以TM1n和TE0n具有相同的截止波长 ，它们是简并模，如TE01与TM11模，TE02与TM12模，等等。 2 圆波导的传输特性（8/9） （1）极化简并 同一组m，n取值的模式，沿圆周 方向存在 两种分布，二者传播特性相同而极化面相互垂直。显然除了TM0n和TE0n模之外，其余所有模式都存在极化简并。 （2）模式简并 若波导内填充空气介质，则 2 圆波导的传输特性（9/