数学的预备知识.docVIP

1数学的预备知识 1.1群、环、域的基本知识， 群： 群的陪集分解 环 整数环 多项式环 模q运算下的整数环 模p(x)运算下的多项式环 域 整数环上的有限域 {模p运算} Z/(p) 多项式环上的有限域 {模p(x)运算} F(x)/p(x) 1.2有限域生成和举例 GF(2)域上的4阶本原多项式：x4+x+1 它是GF(2)域上的4阶不可约多项式， 它的周期是24-1。 GF(24)域上的本原元α，以及元素的两种表示 由α的方幂构成所有非零元素的乘法循环群 所有非零元素的多项式表示、即1,α,α2α3的线性组合 乘法循环群中元素的阶 GF(24)域上的特征 元素的最小多项式 最小多项式的共轭类 元素的阶、最小多项式的周期 GF(24)域的构造 GF(24)的子域和最小子域 GF(24)域上元素的分裂域 多项式x16+x的因式分解 例1验证x4+x+1是不可约多项式 x不能整除 x4+x+1，余式为1 x+1不能整除 x4+x+1，余式为1 商x3/余x3+x+1 商x2/余x2+x+1 商x/余1 x2+x+1不能整除 x4+x+1 商x2/余x3+x2+x+1 商x/余1 例2验证x4+x+1的周期是15。 x4+x+1 的周期是x4+x+1整除xN+1,N取最小的整数。验证最小整数是否是15＝24－1 x4+x+1除以xN 商xN-4/余 xN－3＋xN-4 商xN-7/余 xN－4＋xN-6＋xN-7 商xN-8/余xN-6＋xN-8 商xN-10/余xN-8＋xN-9＋xN-10 商xN-12/余xN-9＋xN-10＋xN-11＋xN-12 商xN-13/余xN-10＋xN-11＋xN-13 商xN-14/余xN-11＋xN-14 商xN-15/余xN-15 例3多项式x4+x+1的除法电路。 多项式除法电路 多项式x4+x+1的除法电路 多项式x4+x+1的除法电路的状态表 时序 第一级 第二级 第三级 第四级 输出 α0 α1 α2 α3 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 2 0 0 1 0 3 0 0 0 1 4 1 1 0 0 5 0 1 1 0 6 0 0 1 1 7 1 1 0 1 8 1 0 1 0 9 0 1 0 1 10 1 1 1 0 11 0 1 1 1 12 1 1 1 1 13 1 0 1 1 14 1 0 0 1 15 1 0 0 0 例4 GF(24)的生成、元素的方幂表示和多项式表示、元素的阶 GF(2)域上的4阶本原多项式x4+x+1的根α： α4+α+1=0即α4＝1＋α 由α生成GF(2m)上的元素。 元素 元素 阶数 0 0 1 α 1 α α 15 α2 α2 15 α3 α3 5 α4 1＋α 15 α5 α＋α2 3 α6 α2＋α3 5 α7 1＋α＋α3 15 α8 1＋α2 15 α9 α＋α3 5 α10 1＋α＋α2 3 α11 α＋α2＋α3 15 α12 1＋α＋α2＋α3 5 α13 1＋α2＋α3 15 α14 1＋α3 15 α15 1 例5 GF(24)上的元素的分类以及相应的最小多项式 元素 最小多项式 元素的阶数和 最小多项式的周期 α，α2，α4，α8 x4+x+1 15 α3，α6，α12，α9 x4+x3+x2+x+1 5 α5，α10 x2+x+1 3 α7，α14，α13，α11 x4+x3+1 15 1 x+1 1 0 例6 GF(24)上的元素最小多项式和它们的因式分解 x4+x+1＝（x-α）（x-α2）（x-α4）（x-α8） x4+x3+ x2+x+1=（x-α3）（x-α6）（x-α12）（x-α9） x4+x3+1=（x-α7）（x-α14）（x-α13）（x-α11） x2+x+1=（x-α5）（x-α10） x+1=( x-1) 例7 GF(24)域的构造、特征和子域 GF(24)域元素的总数＝24 GF(24)域的特征是2，即最小子域是2个元素：0、1 2整除24 GF(24)域的子域是GF(22)，有4个元素：0，1，α5，α10 22整除24 例8 GF(24)上的多项式x16+x x16 + x = (x15 + 1) x =( x4+x+1)( x4+x3+ x2+x+1)( x4+x3+1)( x2+x+1)( x+1) x =(x-α）（x-α2）（x-α4）（x-α8） （x-α3