Ⅰ高等数学教学大纲.docVIP

《 高等数学A 》课程教学大纲 Advanced?Mathematics A 课程代码：03100A01, 03100A02 课程性质：公共基础理论课(必修) 适用专业：分级教学普通班 开课学期：1、2 总学时数：184 总学分数：11.5 修订年月：2007.7 执 笔：古伟清、金朝永 第一部分 大纲 一、课程的性质与目的 高等数学课程是高等学校工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。通过本课程的学习，要使学生获得： 函数、极限、连续, 一元函数微积分学, 向量代数和空间解析几何， 多元函数微积分学， 无穷级数（包括傅里叶级数）， 常微分方程 等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析和解决问题的能力。 二、课程教学内容及学时分配 (一) 教学内容 1．函数、极限、连续 函数：函数的概念及表示法，函数的特性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数的概念，基本初等函数的性质及图形。初等函数。简单应用问题函数关系的建立； 极限：数列极限的定义，收敛数列的性质（唯一性，有界性）；函数极限的定义，函数的左右极限，函数极限的性质（局部保号性、局部有界性），无穷小与无穷大的概念及其关系；极限的四则运算法则，两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），两个重要极限，无穷小的比较。 函数的连续性：函数连续的定义，间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（最大最小值定理，零点定理和介值定理）。 2．一元函数微分学 导数与微分：导数的定义，导数的几何意义，函数的 可导性与连续性的关系；平面曲线的切线和法线，导数的四则运算法则，复合函数求导法则，基本初等函数的导数公式；高阶导数的概念，初等函数的一、二阶导数的求法，隐函数和参数式所确定的函数的一、二阶导数的求法；微分的定义，微分的运算法则（含微分形式的不变性）。 中值定理与导数的应用：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒公式；洛必达法则；用导数判定函数的单调性，函数极值概念及其求法，简单的最大值最小值应用问题，用导数判定函数曲线的凹凸性与拐点，水平与垂直渐近线，函数作图；弧微分，曲率的定义及其计算，曲率半径。 3．一元函数积分学 不定积分：原函数与不定积分的定义，不定积分的性质，基本积分公式，换元积分法，分部积分法，有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。 定积分及其应用：定积分的定义及其性质，积分上限的函数及其导数，牛顿—莱布尼茨公式，定积分的换元法和分部积分法；广义积分的概念；；定积分在几何学中的应用（面积、旋转体体积、平行截面面积为已知的立体的体积、平面曲线的弧长）。 4．向量代数与空间解析几何 向量代数：空间直角坐标系，向量概念，向量的线性运算，向量的坐标，向量的数量积，向量的向量积，两向量的夹角，两向量平行与垂直的条件。单位向量，方向数与方向余弦 平面与直线：平面的方程（点法式、一般式、截距式），直线的方程（参数式、对称式、一般式），夹角（平面与平面、平面与直线、直线与直线），平行与垂直的条件（平面与平面、平面与直线、直线与直线）。点到平面和点到直线的距离。 曲面与空间曲线：曲面方程的概念，球面方程，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面，母线平行于坐标轴的柱面方程；空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线与曲面在坐标面上的投影。 常用的二次曲面的方程及其图形。 5．多元函数微分学 多元函数：多元函数的概念，二元函数的几何表示，二元函数的极限与连续性，有界闭区域上连续函数的性质。 偏导数与全微分：多元函数的偏导数的定义及其计算法，高阶偏导数的概念及复合函数二阶偏导数的求法；全微分的定义，全微分存在的必要条件和充分条件，多元复合函数的求偏导法则，隐函数的求偏导公式（一个方程的情形）；方向导数和梯度。 偏导数的应用：空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线；，多元函数的极值及其求法，最大值、最小值问题及其简单应用，条件极值，拉格朗日乘数法。 6．多元函数积分学 二重积分：二重积分的概念、性质及计算（直角坐标、极坐标）；二重积分在几何学中的应用（曲面面积、立体体积）。 三重积分：三重积分的概念、性质与计算（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；三重积分的应用。 曲线积分：两类曲线积分的定义与性质，两类曲线积分的计算法；两类曲线积分的关系，曲线积分的应用；格林公式，平面曲线积