扬州大学线性代数§1.1排列与逆序详解.pptVIP

3、逆序数: 一个排列中逆序的个数称为这个排列的逆序数 。 * 线 性 代 数扬州大学物理与科学学院 线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量、向量空间、线性变换和有限维的线性方程组求解。而向量空间是现代数学的一个重要课题，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中，线性代数的理论已被泛化为算子理论。 另外，对于科学研究中的非线性模型，在一定条件下通常可以被近似为线性模型，这使得线性代数在处理实际问题(物理、生命、化学、社科)时也被广泛采用。 第一章 行列式§1·1 排列与逆序§1·2 n阶行列式的定义§1·3 行列式的性质§1·4 行列式按行（列）展开§1·5 Cramer法则 第二章 矩阵 §2·1 矩阵的概念 §2·2 矩阵的运算 §2·3 几种特殊的矩阵 §2·4 分块矩阵 §2·5 逆矩阵 §2·6 矩阵的初等变换 第三章 消元法 §3·1 消元法解线性方程组 §3·2 n维向量 §3·3 向量组的秩 §3·4 矩阵的秩 §3·5 线性方程组解的一般理论 第四章 向量空间、矩阵的特征值与特征向量 §4·1 向量空间 §4·2 向量的内积 §4·3 正交矩阵 §4·4 矩阵的特征值和特征向量 第五章 二次型 §5.1 二次型的矩阵表示 §5.2 标准型 §5.3 二次型规范型 §5.4 正定二次型 第一章 行列式 §1·1 排列与逆序 §1·2 n阶行列式的定义 §1·3 行列式的性质 §1·4 行列式按行(列)展开 §1·5 Cramer法则 §1·1 排列与逆序 例、用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字 的三位数？ 解：123 132 213 231 312 321 总数=6 (个) =3！(个) 三级排列 排列：由连续自然数1、2、3、4、…、n组成的一个有序 数组称为一个n级排列，简称为排列。 自然排列：n级排列123…n 称为自然排列。 214 13243 1314 不是排列 不是排列 不是排列 n级排列的三要素： (2) n个数中不能有重复数; (3) 不能有大于n的数。 54321 5级排列 3142 4级排列 (1)由n个自然数组成; n级排列的总数 =n!个 例： 1243 1342 1324 解：4级排列的总数＝4!=24 个 例、由1、2、3、4这四个数可构成四级排列。 1234 1423 1423 排列的表示： ｛j1 j2 j3 … jn｝——— 所有n级排列的集合 例如：｛ j1 j2 j3 ｝表示所有3级排列 当j1=3、j2=1、j3=2时，j1 j2 j3代表三级排列312 当j1=2、j2=3、j3=1时，j1 j2 j3代表三级排列231 j1 j2 j3 … jn ——— 表示一个n级排列 逆序：在一个排列中，如果两个数的前后位置与它们的大小顺序相反(即排在前面的数大于排在后面的数)，则称这两个数构成排列的一个逆序。 即：对n级排列 j1 j2 … ji… jk… jn, 若jijk，则称ji与 jk构成一个逆序，记为 ji jk。 例：在三级排列312中, 逆序：31 、32； 在四级排列4231中， 逆序：42、21、31… 【例1】写出下列排列的逆序。 （1）3241 逆序：32、31、 21、 41 （2）52341 逆序：52、53、54、51、21、31、41 （3）1234567 逆序：无 逆序数:一个排列中逆序的个数称为这个排列的逆序数 ,记 为: ?(j1, j2 ,……, jn) 例如: （3）1234567 逆序:无 （1）3241 逆序：32、31、21、41, （2）52341 逆序：52、53、54、51、21、31、41 逆序数的计算方法(穷举法): ? (j1, j2 ,……, jn) = j1后面比j1小的数的个数 + j2后面比j2小 的数的个数 + … + jn-1后面比jn-1小的数的个数。 排列 奇排列 偶排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 利用逆序数的性质可以对排列进行分类： 【例2】 求排列 的逆序数 解: 当k=4n时， ? = 2n(4n-1)为偶数 当k=4n+1时， ?