用模态叠加法求固有频率详解.docVIP

用模态叠加法求固有频率 模态分析法（振型叠加法）原理 对于n个自由度系统，其在广义坐标系下的运动微分方程为 （1-1） 设在t=0时，有初始条件： 和 通过求解特征值问题，可得系统的固有频率和振型向量 以正则振型矩阵作为变换矩阵，令 （a） 代入方程（1-1），并前乘以正则振型矩阵的转置，得 （b） ∵ 令 ---- 是正则坐标系下的激励。 则方程（b）为 （c） 展开后，得 （1-2） 式中 ，为对应第i个正则坐标的激励。 对于方程（1-2）是一组n个独立的方程，每个方程和单自由度系统的强迫振动相同，因此可按单自由度系统中的方法独立地求解每个方程。则由杜哈美积分得方程（1-2）的通解 式中和 是第i个正则坐标的初始位移和初始速度。 ∵ ∴ （d） 和 （e） 用 前乘以式（d）两端，得 ∴ 同理，有 写成分量形式 最后，由方程（a），将正则坐标的解变换到原广义坐标，就得到方程（1-1）的解。 （2）在许多工程问题中系统的自由度很多，要想求出系统的所有固有频率和振型向量，计算成本很大，有时甚至是不可能的。由于激励的高频成分很微弱，或者由于系统的高频振动没有激发出来，总之系统的响应中只有较低的几阶振型分量。因此，使用振型叠加法可以使计算大大地简化。 例如，若系统为n自由度，且只需考虑前p（pn）阶固有特性，即只需计算出系统前p阶固有频率和振型向量： 则振型矩阵 是一个n×p的矩阵。作如下的线性变换 代入方程（1-1），并前乘以正则振型矩阵的转置，得 （b） ∴ 展开后，得 则原广义坐标下的响应为 这种处理方法称为振型截断法。 二、振型叠加法计算步骤 1. 建立广义坐标系下的运动微分方程 给出广义坐标系下初始条件：和 2. 计算固有频率和振型向量 计算主质量： 得正则振型向量： 3. 初始条件变换 4. 激励变换 5. 计算正则坐标系下的响应 正则坐标系下运动微分方程 利用杜哈美积分写出正则坐标系下的响应 6. 写出原广义坐标系下的响应 三、源程序 ****************************** * Program to generate the response of an N-DOF structure * to any arbitrary applied loading using the * MODE SUPERPOSITION METHOD ****************************** * Program Author : Sanjoy Chakraborty * Auburn University ****************************** program mode_s use msimsl implicit real *8 (a-h,o-z) real *8 mr,kr character *12 flin,fout dimension mr(10,1),cr(10,1),kr(10,1),phi(10,10),tt(20,10), 1 ft(20,10),fr(6000,10),q(6000,10),q1(6000,10),q2(6000,10), 2 qt(10,1),q1t(10,1),q2t(10,1),nfor(10),xmin(10,1),vmin(10,1) data ndim/10/ ******************************* * Assign I/O Devices and read in system parameters ******************************* write(*,50) 50 format(///, Program for Eigensolution and Mode Superposition 1 ,//, Program Author : Sanjoy Chakraborty, Auburn University 2 ,//////, Enter Input File Name : ) read(*,(a))flin open(1,file=f