机械振动——简运动的基本概念.docVIP

简谐运动 在一切振动中，最简单和最基本的振动称为简谐运动，其运动量按正弦函数或余弦函数的规律随时间变化。任何复杂的运动都可以看成是若干简谐运动的合成。本节以弹簧振子为例讨论简谐运动的特征及其运动规律。 一、简谐运动的基本概念： 1．弹簧振子： 轻质弹簧(质量不计)一端固定，另一端系一质量为m的物体，置于光滑的水平面上。物体所受的阻力忽略不计。设在O点弹簧没有形变，此处物体所受的合力为零，称O点为平衡位置。系统一经触发，就绕平衡位置作来回往复的周期性运动。这样的运动系统叫做弹簧振子（harmonic Oscillator），它是一个理想化的模型。 2．弹簧振子运动的定性分析： 考虑物体的惯性和作用在物体上的弹性力： B→O：弹性力向左，加速度向左，加速，O点，加速度为零，速度最大； O→C：弹性力向右，加速度向右，减速，C点，加速度最大，速度为零； C→O：弹性力向右，加速度向右，加速，O点，加速度为零，速度最大； O→B：弹性力向左，加速度向左，减速，B点，加速度最大，速度为零。 物体在B、C之间来回往复运动。 结论：物体作简谐运动的条件： 物体的惯性 ——阻止系统停留在平衡位置 作用在物体上的弹性力——驱使系统回复到平衡位置 二、弹簧振子的动力学特征： 1．线性回复力分析弹簧振子的受力情况。取平衡位置O点为坐标原点，水平向右为X轴的正方向。由胡克定律可知，物体m (可视为质点)在坐标为x (即相对于O点的位移)的位置时所受弹簧的作用力为 f=-kx 式中的比例系数k为弹簧的劲度系数（Stiffness），它反映弹簧的固有性质，负号表示力的方向与位移的方向相反，它是始终指向平衡位置的。离平衡位置越远，力越大；在平衡位置力为零，物体由于惯性继续运动。这种始终指向平衡位置的力称为回复力。 2．动力学方程及其解f=ma 可得物体的加速度为 对于给定的弹簧振子，m和k均为正值常量，令 则上式可以改写为 即 或 这就是简谐运动的微分方程。 三、简谐运动的运动学特征： 1．简谐振动的表达式（运动学方程） 这就是简谐运动的运动学方程，式中A和φ是积分常数。 说明： 1）简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的，只有正弦函数、余弦函数或它们的组合才具有这种性质，这里我们采用余弦函数。 2）考虑三角函数与复数的关系，则。用复数表示简谐运动，其优点是运算比较简单。 2．简谐振动物体的速度和加速度 说明： 物体在简谐运动时，其位移、速度、加速度都是周期性变化的。 简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的——只有正弦函数、余弦函数或它们的组合才具有这种性质——采用余弦函数。 二、简谐运动的特点： 1．从受力角度来看——动力学特征 合外力f=-kx与物体相对于平衡位置的位移成正比，方向与位移的方向相反，并且总是指向平衡位置的。此合外力又称为线形回复力或准弹性力。 2．从加速度角度来看——运动学特征 加速度与物体相对于平衡位置的位移成正比，方向与位移的方向相反，并且总是指向平衡位置的。 3．从位移角度来看： 位移是时间的周期性函数。 说明： 1）要证明一个物体是否作简谐运动，只要证明上面三个式子中的一个即可，且由其中的一个可以推出另外两个； 2）要证明一个物体是否作简谐运动最简单的方法就是受力方析，得到物体所受的合外力满足回复力的关系。 例题：一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为m的物体。今将物体向下拉一段距离后再放开，证明物体将作简谐运动。 证明：取物体平衡位置为坐标原点，竖直向下为x轴的正方向，如图所示。物体在平衡位置时所受的合力为零，即 mg-kl=0 (1) 其中mg为物体的重力，l为物体平衡时弹簧的伸长量。 在任一位置x处，物体所受的合力为 F=mg-k(x+l) (2) 比较(1)、(2)可得 F=-kx (3) 可见物体所受的合外力与位移成正比，而方向相反，所以该物体将作简谐运动。 简谐运动的振幅、周期和相位 Amplitude , Period and Frequency，Phase of Simple harmonic Vibration 现在我们讨论简谐振动运动学方程x=Acos(ωt+φ)中的A、ω、ωt+φ、φ的物理意义。它们分别是描述谐振动的特征量：振幅、频率和周期、相位和初相。—反映振动幅度的大小 引入：在简谐运动的表达式中，因为余弦或正弦函数的绝对值不能大于1，所以物体的振动范围为+A与-A之间。 定义：作简谐运动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。 说明：(1)A恒为正值，单位为米(m);