整合平面向量与析几何.docVIP

整合平面向量与解析几何 湖北洪湖园林中学 邵虎 在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。 例1、椭圆的焦点为FF，点P为其上的动点，当∠FP F为钝角时，点P横坐标的取值范围是___。 解：F1（－,0）F2（,0）,设P（3cos,2sin）为钝角 ∴ =9cos2－5＋4sin2=5 cos2－10 解得： ∴点P横坐标的取值范围是（） 解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。 例平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（－1，3），若点C满足，其中(、(∈R，且(＋(=1，则点C的轨迹方程为 （A）（x－1）2＋（y－2）2=5 （B）3x＋2y－11=0 （C）2x－y=0 （D）x＋2y－5=0 例已知点、，动点，则点P的轨迹是 （A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线 的最大值和最小值。 分析：因为O为AB的中点，所以故可利用向量把问题转化为求向量的最值。[来源:Z+xx+k.Com] 又由中点公式得 所以 = = = 又因为 点P在圆(x-3)2+(y-4)2=4上, 所以 且 所以 即 故 所以的最大值为100，最小值为20。 有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手。 例5.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ） （A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 分析：因为同向的单位向量，由向量加法的平行四边形则知是与∠ABC的角平分线（射线）同向的一个向量，又，知P点的轨迹是∠ABC的角平分线，从而点P的轨迹一定通过△ABC的内心。[来源:学科网ZXXK]； 求出角平分线的方向向量 由点斜式或点向式得出角平分线方程。{直线的点向式方程：过P（），其方向向量为，其方程为} 例6．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若，求直线PQ的方程； （3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明. （1）解：由题意，可设椭圆的方程为. 由已知得解得 所以椭圆的方程为，离心率. （2）解：由（1）可得A（3，0）. 设直线PQ的方程为.由方程组 得 依题意，得. 设，则， ① . ② 由直线PQ的方程得.于是 . ③ ∵，∴. ④ 由①②③④得，从而. 所以直线PQ的方程为或 （2）证明：.由已知得方程组 注意，解得 故[. 而，所以. 例给定抛物线C：F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A、B两点. （Ⅰ）设的斜率为1，求夹角的大小； （Ⅱ）设，求在轴上截距的变化范围. 解：（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为 将代入方程，并整理得 设则有 所以夹角的大小为 （Ⅱ）由题设 得 即 由②得， ∵ ∴③ 联立①、③解得，依题意有 ∴又F（1，0），得直线l方程为 [来源:学,科,网Z,X,X,K] 当时，l在方程y轴上的截距为 由 可知在[4，9]上是递减的， ∴ 直线l在y轴上截距的变化范围为 解析几何与向量综合，主要涉及到向量的点乘积（以及用向量的点乘积求夹角）和定比分点等， I signed with the Bank of the qi