概率之参数估计.pptVIP

参数估计 对于给定的α∈（0，1），由正态分布表求满足： P{|Z|＜zα/2}= 1-α 的临界值zα/2，从而有： 即： 从而得到均值μ的置信度为1-α的置信区间： 注意zα/2就是标准正态分布的上α/2分位点，所以求zα/2通常化归成求上α/2分位点。即 Φ(zα/2 )=1- α/2 图 10-16 图示表示如下： 解 : 由标准正态分布表求得 ： 例7 某轮胎厂生产一批轮胎，根据以往经验知道，轮胎的行驶寿命X(km)服从正态分布 ，先从中随机抽取100只进行测试，求得平均寿命 =32000，试估计该批轮胎的期望寿命的置信区间（α=0.05） 方差σ=4000已知，且α=0.05 ， ， 故总体均值μ的95%置信区间为 * * 某工厂日产某型号的节能灯泡50000个，为获得该批节能灯泡的寿命资料，质检部门每日抽查100个节能灯泡来检测其寿命。 引例 问题：如何从抽取的100个节能灯泡的寿命数据去估计整批50000个节能灯泡的平均寿命，又如何估计该批节能灯泡寿命偏离平均值的离散程度？ 对于某些随机现象，我们可以根据以往的经验或理论分析来判断总体的分布类型，但其中所含的参数一般是未知的。这类已知总体的分布类型，通过样本来估计总体分布中的未知参数的问题便是我们所要讨论的参数估计问题。 所谓参数估计就是根据样本观测值 来估计总体X分布中的未知数或数字特征值. 通常参数估计包括两个方面： 一是估计参数的大小，即点估计问题； 二是估计参数所在的范围，即区间估计问题。 一、参数的点估计 设 是总体X的分布中的未知参数，根据待估计参数 的特征，由样本 构造一个恰当的统计量 = ( )来估计未知参数 ，我们称统计量 为 的估计量，对应于样本的一组观测值 ，估计量的值 = ( )称为 的估计值，仍简记为 。估计量和估计值统称为估计。由于 的估计值为实数轴上的一个点，所以称此种方法为参数的点估计。 两种常见的点估计方法： 1、矩估计法： 矩估计法的基本思想是用样本矩作为相应总体矩的估计量。 样本均值 是一阶样本矩 总体均值 是一阶总体矩 将 作为 的估计量的做法就是把一阶样本矩作为一阶总体矩的估计量。 推而广之，把二阶样本矩作为二阶总体矩的估计量，把三阶样本矩作为三阶总体矩的估计量，…，这种估计方法称为矩估计法。 矩是最广泛使用的一类数字特征，重要分布的参数大多数是一些低阶矩，因此矩估计法是简单而实用的一类参数估计方法。 这样求总体的数字特征的估计量的方法也称样本数字特征法，它是数理统计中最常用的一种点估计法，而且并不需要知道总体的分布形式。 设 是总体X的一个样本，总体的二阶矩存在，则总体均值 和总体方差 的估计量分别是样本均值 和样本方差 ，即 例1 对某山峰的高度测量8次，测得其高度如下：（单位：m） 5435.8 5436.5 5437.1 5436.4 5436.6 5437.0 5436.8 5435.8 试求该山峰的高度和均方差。 解： 以测量值的平均值作为该山峰高度的估计值： 方差的估计值 ： 例2 设总体X服从两点分布，即 若 是未知参数，求 的矩估计。 解： 设 为从总体X中抽取的一个样本，由矩估计法得： 所以参数 的估计量 为： 这里 是n次独立重复试验中事件发生的次数，是n次独立重复试验中事件出现的频率。 当用矩估计法估计 时，就再现用事件的频率来估计概率这一熟知的方法。 例3 设总体X的密度函数为： 求参数θ的估计量。 解： 由 得θ的矩估计量为 练习设总体X的密度函数为： 求参数θ的估计量；若有n=6的样本： 0.4,0.6,0.7,1.2,0.3,0.5,求参数θ的矩估计值。 2、顺序统计量法 设总体X有样本 ，将样本从小到大排列，表示为 求其中位数 和极差 将样本中位数 作为总体均值 的估计量： 总体均方差 用样本极差 作为估计量： 其中 的数值见下表 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.128 1.693 2.059 2.326 2.534 2.704 2.847 2.970 3.078 特别，对于正态总体 ， 和 的估计量分别为 且可以证明： 都是样本按