chap7-1参数的点估计.pptVIP

为使L a,b 达到最大,b－a应该尽量地小. 但b又不能小于max x1,x2 ,? ,xn .否则，L a,b 0.类似地a不能大过min x1,x2,?,xn . 因此,a和b的极大似然估计为 我们不能用似然方程组来求极大似然估计, 而必须从极大似然估计的定义出发,求L a,b 的最大值. 解：似然函数为 例5 设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本 其中 0,求 的极大似然估计. i 1,2,…,n 解：似然函数为 i 1,2,…,n 对数似然函数为 0 2 由 1 得 0 1 对 分别求偏导并令其为0, 对数似然函数为 用求导方法无法最终确定 用极大似然原则来求 . 是 对 故使 达到最大的 即 的MLE， 于是 取其它值时， 即 为 的MLE . 且是 的增函数 由于 第七章第三节 估计量的优良性准则 从前面两节的讨论中可以看到: ● 同一参数可以有几种不同的估计，这时就需 要判断采用哪一种估计为好的问题。 ● 另一方面，对于同一个参数，用矩法和极大 似然法即使得到的是同一个估计, 也存在衡 量这个估计优劣的问题。 估计量的优良性准则就是：评价一个估计量“好”与“坏”的标准。 设总体的分布参数为?， 对一切可能的? 成立,则称 为? 的无偏估计。 一、 无偏性 对于样本 X1,X2,?,Xn的不同取值， 取不同的值 。 如果 的均值等于?，即 简记为 是? 的一个估计 注意! 它是一个统计量，是随机变量。 例1：设 X1, X2, …, Xn 为抽自均值为? 的总体X的随机样本，考虑 ? 的如下几个估计量： 定理1：设总体 X 的均值为?,方差为?2, X1,X2,…,Xn 为来自总体 X 的随机样本，记 与 分别为样本均值与样本方差，即 即样本均值和样本方差分别是 总体均值 和总体方差 的无偏估计。 证明：因为 X1, X2, …, Xn 独立同分布，且 E Xi μ , 所以 另一方面，因 于是，有 注意到 前面两节中，我们曾用矩法和极大似然法分别求得了正态总体 N μ , σ2 中参数 σ2 的估计,均为 很显然，它不是 σ2 的无偏估计。这正是我们为什么要将其分母修正为 n-1，获得样本方差 S2来估计 σ2 的理由。 例2：求证：样本标准差 S 不是总体标准差? 的无偏估计。 证明：因 E S2 ? 2， 所以，Var S +[E S ]2 ? 2， 由 Var S ＞0，知 [E S ]2 ? 2 - Var S ＜ ? 2. 所以，E S ＜ ?. 故，S 不是 ? 的无偏估计。 例3：设 是 的无偏估计，且有 证明 不是 的无偏估计。 证明： 是 的无偏估计 用估计量 估计?，估计误差 II. 均方误差准则 是随机变量，通常用其均值衡量估计误差的大小。 要注意: 为了防止求均值时正、负误差相互抵消，我们先将其平方后再求均值，并称其为均方误差，记成 ，即 Mean Square Error 哪个估计的均方误差小，就称哪个估计比较优，这种判定估计优劣的准则为“均方误差准则”。 注意：均方误差可分解成两部分: 证明： 上式表明，均方误差由两部分构成：第一部分是估计量的方差，第二部分是估计量的偏差的平方和。 注意：如果一个估计量是无偏的，则第二部分是零，则有: 如果两个估计都是无偏估计，这时哪个估计的方差小，哪个估计就较优。这种判定估计量优劣的准则称为方差准则。 显然三个估计都是?的无偏估计. 设X1,X2 ,? ,Xn为抽自均值为?的总体,考虑?的如下三个估计: 例5 这表明,当我们用样本均值去估计总体均值时,使用全体样本总比不使用全体样本要好. 例6 设 及 是 的两个独立的无偏估计量， 且 。 求常数 及 使 为 的无偏估计，并使 达到最小。 解：常数 及 使 为无偏估计 问题归结为在条件（1）下，求 达到最小的 和 方法一：由（1）得 方法二：用拉各朗日乘子法 第 七 章 参 数 估 计 例如 1 为了研究人们的市场消费行为,我们要先搞清楚人们的收入状况. 假设某城市人均年收入X～N ? , ?2 . 但参数?和?2的具体值并不知道.需要通过样本来估计. 2 假定某城市在单位时间 譬如一个月 内交通事故发生次数 X ～ P ? . 参数?未知,需要从样本来估计. 总体是由总体分布来刻画的. 点估计 参数估计 区间估计 总体分布的未知参数的估计──总体分布的参 数往往是未知的,需要通过样本来估计.通过样 本来估计总体的参数,称为参数估计,它是统计 推断的一种重要形式. 我们 主要 讨论 参数估计的常用方法. 估计的优良性准则. 若干重要总体的参数估计问题. 第七章