第一讲 集合念与运算技巧.docVIP

第一讲 集合的概念与运算技巧 【命题趋向】 1．高考试题通过选择题和填空题，以及大题的解集，全面考查集合与简易逻辑的知识，题型新，分值稳定．一般占5---10分． 2．简易逻辑一部分的内容在近两年的高考试题有所出现，应引起注意． 【考点透视】 1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念. 2．了解空集和全集的意义. 3．了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A 或A≠两种可能，此时应分类讨论. 【例题解析】 题型1． 正确理解和运用集合概念 理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键. 例1.已知集合M y|y x2＋1,x∈R ,N y|y x＋1,x∈R ，则M∩N （ ） A．（0，1），（1，2） B． （0，1），（1，2） C． y|y 1,或y 2 D． y|y≥1 思路启迪：集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对 x,y ，因此M、N分别表示函数y x2＋1 x∈R ，y x＋1 x∈R 的值域，求M∩N即求两函数值域的交集． ∴M∩N y|y≥1 ∩ y|y∈R y|y≥1 ,∴应选D． 点评：①本题求M∩N，经常发生解方程组 从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分 x|y x2＋1 、 y|y x2＋1,x∈R 、 x,y |y x2＋1,x∈R ，这三个集合是不同的． 例2.若P y|y x2,x∈R ，Q y|y x2＋1,x∈R ，则P∩Q等于（ ） A．P B．Q C． D．不知道 思路启迪：类似上题知P集合是y x2（x∈R）的值域集合，同样Q集合是y x2＋1（x∈R）的值域集合，这样P∩Q意义就明确了． P，即P∩Q Q．∴应选B． 例3. 若P y|y x2,x∈R ，Q x，y |y x2,x∈R ，则必有（ ） A．P∩Q 　 B．P Q C．P Q D．P Q ．∴应选A． 例4（2007年安徽卷文）若，则 （ ） A． 3 B． 1 C． D． －1 思路启迪： 解：应选D． 点评：解此类题应先确定已知集合． 3－22－＋7 ,B 1, ＋1, 2－2＋2,－ 2－3－8 , 3＋2＋3＋7 ，且A∩B 2，5 ，则实数的值是________． 解答启迪：∵A∩B 2，5 ，∴3－22－＋7 5,由此求得 2或 ±1． A 2,4,5 ，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查． 当 1时，2－2＋2 1，与元素的互异性相违背，故应舍去 1． 当 －1时，B 1,0,5,2,4 ，与A∩B 2，5 相矛盾，故又舍去 －1． 当 2时，A 2，4，5 ,B 1,3,2,5,25 ，此时A∩B 2，5 ，满足题设． 2为所求． 例6. 已知集合A ,＋b, ＋2b ，B ,c, c2 ．若A B，则c的值是______． 思路启迪：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式． （1）若＋b c且＋2b c2，消去b得：＋c2－2c 0， 0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故≠0． ∴c2－2c＋1 0，即c 1，但c 1时，B中的三元素又相同，此时无解． （2）若＋b c2且＋2b c，消去b得：2c2－c－ 0， ∵≠0，∴2c2－c－1 0，即 c－1 2c＋1 0，又c≠1，故c －． 点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正． 例7.已知集合A x|x2－3x＋2 0 ,B x|x2－x＋－1 0 ，且A∪B A，则的值为______． 思路启迪：由A∪B A而推出B有四种可能，进而求出的值． ∵ A 1，2 ，∴ B 或B 1 或B 2 或B 1，2 ． 若B ，则令△ 0得∈； 若B 1 ，则令△ 0得 2，此时1是方程的根； 若B 2 ，则令△ 0得 2，此时2不是方程的根，∴∈； 若B 1，2 则令△ 0得∈R且≠2，把x 1代入方程得∈R，把x 2代入方程得 3． 综上的值为2或3． 点评：本题不能直接写出B 1，－1 ，因为－1可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况． 集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过