2012年高考数学压轴题预测（一）.docVIP

2012年高考数学压轴题预测（一） 1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点（）的准线与x轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于、两点。 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若，求直线的方程； （3）设（），过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明. 14分 2． 已知函数对任意实数x都有，且当时，。 时，求的表达式。 证明是偶函数。 试问方程是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。当 3．（本题满分12分）如图，已知点F（0，1），直线L：y -2，及圆C：。 若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程； 过点F的直线g交轨迹E于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x1x2 为定值； 过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值。 4.以椭圆＝1（a＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. 5 已知，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c及一次函数g（x）＝－bx，其中a、b、c∈R，a＞b＞c，a＋b＋c＝0. （Ⅰ）求证：f（x）及g（x）两函数图象相交于相异两点； （Ⅱ）设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A1B1时，试求|A1B1|的取值范围. 参考答案： 1（1）解：由题意，可设椭圆的方程为。 由已知得解得 所以椭圆的方程为，离心率。 （2）解：由（1）可得A（3，0）。 设直线PQ的方程为。由方程组 得，依题意，得。 设，则， ① 。 ② 由直线PQ的方程得。于是 。 ③ ∵，∴。 ④ 由①②③④得，从而。 所以直线PQ的方程为或 （3，理工类考生做）证明：。由已知得方程组 注意，解得 因，故 。 而，所以。 2 ①f x 2k≦x≦2k+2, k∈Z ②略 ⑶方程在[1，4]上有4个实根 3 ①x2 4y ②x1x2 -4 ⑶P ±2,1 SMIN 4 .解：因a＞1，不防设短轴一端点为B（0，1） 设BC∶y＝kx＋1（k＞0） 则AB∶y＝－x＋1 把BC方程代入椭圆， 是（1＋a2k2）x2＋2a2kx＝0 ∴|BC|＝，同理|AB|＝ 由|AB|＝|BC|，得k3－a2k2＋ka2－1＝0 （k－1）［k2＋（1－a2）k＋1］＝0 ∴k＝1或k2＋（1－a2）k＋1＝0 当k2＋（1－a2）k＋1＝0时，Δ＝（a2－1）2－4 由Δ＜0，得1＜a＜ 由Δ＝0，得a＝，此时，k＝1 故，由Δ≤0，即1＜a≤时有一解 由Δ＞0即a＞时有三解 5 解：依题意，知a、b≠0 ∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0 ∴a＞0且c＜0 （Ⅰ）令f（x）＝g（x）， 得ax2＋2bx＋c＝0.（*） Δ＝4（b2－ac） ∵a＞0，c＜0，∴ac＜0，∴Δ＞0 ∴f（x）、g（x）相交于相异两点  （Ⅱ）设x1、x2为交点A、B之横坐标 则|A1B1|2＝|x1－x2|2，由方程（*），知 |A1B1|2＝ ∵，而a＞0，∴ ∵，∴ ∴ ∴4［（）2＋＋1］∈（3，12） ∴|A1B1|∈（，2） 1