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弹性力学(六) 陈礼清 东北大学轧制技术及连轧自动化 国家重点实验室 2012年2月 三、三角形板、楔形体的求解方法 因次分析法（量纲分析法）： x y O 楔形体，下部可无限延伸。 侧面受水压作用： （水的容重） 自重作用 (楔形体的容重)； 分析思路： (a) ∵ 的量纲为： ∴ 的形式应为： 的线性组合。 的量纲为： (b) 由 推理得： 应为 x、y 的三次函数。 应力函数可假设为： (2) 若为平面应变问题，则将材料常数E、?作相应替换。 (3) 若取固定端边界条件为： h/2 h/2 (中点不动) (中点处竖向线段转角为零) 得到： 求得： 此结果与前面情形相同。 (1) (2-25) (2) 然后将 代入式(2-24)求出应力分量： 先由方程(2-25)求出应力函数： (2-24) (3) 再让 满足应力边界条件和位移单值条件(多连体问题)。 按应力求解平面问题的基本步骤： 按应力求解平面问题的方法： 逆解法 （1） 根据问题的条件 (几何形状、受力特点、边界条件等)， 假设各种满足相容方程（2-25）的φ(x,y) 的形式； （2） 然后利用应力分量计算式(2-24)，求出 （具有待定系数）； （3） 再利用应力边界条件式(2-15)，来考察这些应力函数φ(x,y) 对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数φ(x,y) 可以求解什么问题。 (1) 根据问题的条件 (几何形状、受力特点、边界条件等), 假设部分应力分量 的某种函数形式 ； (2) 根据 与应力函数φ(x,y)的关系及 ，求出φ(x,y) 的形式； (3) 最后利用式（2-26）计算出 并让其满足边界条件和位移单值条件。 —— 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。 半逆解法 位移分量求解： (1) 将已求得的应力分量 (2) (3) 代入物理方程，求得应变分量 将应变分量 代入几何方程，并积分求得位移分量 表达式； 由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。 §3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答 §3-2 矩形梁的纯弯曲 §3-3 位移分量的求出 §3-4 简支梁受均布载荷 §3-5 楔形体受重力和液体压力 §3-4 简支梁受均布载荷 要点 —— 用半逆解法求解梁、长板类平面问题。 x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q 1. 应力函数的确定 (1) 分析： —— 主要由弯矩引起； —— 主要由剪力引起； ——由 q 引起（挤压应力）。 又∵ q =常数，图示坐标系和几何对称，∴　　不随 x 变化。 推得： (2) 由应力分量表达式确定应力函数 的形式： 积分得： (a) (b) —— 任意的待定的y的函数 o (a) (b) — 任意的待定函数 (3) 由 确定： 代入相容方程: x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q o 方程的特点： 关于 x 的二次方程,且要求－l? x ? l 内方程均成立,即x取任意值时,方程成立。 由“高等代数”理论，须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即： 对前两个方程积分： (c) 此处略去了f1(y)中的常数项 由第三个方程得： 积分得： (d) x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q o (c) (d) (a) (b) 将(c)、(d) 代入 (b)，有 (e) 此处略去了f2(y)中的一次项和常数项 式中含有9个待定常数。 x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q o (e) 2. 应力分量的确定 (f) (g) (h) 3. 对称条件与边界条件的应用 (f) (g) (h) 3. 对称条件与边界条件的应用 (1) 对称条件的应用： 由 q 对称、几何对称： —— x 的偶函数 —— x 的奇函数 由此得： 要使上式对任意的 y 成立，须有： x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q o (2) 边界条件的应用： (a) 上下边界(主要边界) 由此解得： 代入应力公式 x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q o ( i ) ( j ) ( k ) (b) 左右边界(次要边界) (由于对称, 只考虑右边界即可) —