第1部分误差69006机械加工.pptVIP

* 现代科学研究的三大支柱 理论研究 科学实验 科学计算 计算数学 算法的研究和应用正是本课程的主题 ！ 建立数学模型 选取计算方法 编写上机程序 计算得出结果 科学计算解题过程 （1） 模型误差 数学描述和实际问题之间的误差—— 模型误差 例如，质量为m的物体，在重力作用下，自由下落， 其下落距离s 与时间t 的关系是 其中g为重力加速度。 米/秒2 （2）观测误差 在建立数学模型中，有些数据是由观测或实验得到 的，但由于仪器本身的精度有限或某些偶然的客观原因， 1.1.1 误差的来源 1.1 误差的基本概念 观测或实验结果和这些数据的实际大小总有误差，这种误 差称为观测误差(初值误差）. （3）截断误差或方法误差 模型的准确值与用数值方法求得的准确值之间总是存 在着误差，这种误差称为截断误差（方法误差）. 用计算机、计算器和笔算，都只能用有限位小数来代替无穷小数或用位数较少的小数来代替位数较多的有限小 数，从而引起了误差，这种误差称为舍入误差. （4）舍入误差 1.1.1 误差的来源 (1) 误差与误差限 例 若用以厘米为最小刻度的尺去量桌子的长，大约为145厘米，求145厘米的误差。 145厘米的 误差=？ 不知道！ 定义 设x是某个量的准确值（真值），x*为x的一个近似值，称 是近似值x*的绝对误差，简称误差。 1.1.2 绝对误差和相对误差 定义 如果 则称 为近似值 的（绝对)误差限. (2) 相对误差和相对误差限 定义 设x是准确值，x*是近似值，称 称为近似值 的相对误差限，记作 . 为近似值x*的相对误差,记作 . ， 1.1.2 绝对误差和相对误差 定义 把近似值 的误差限 与 的比值 （1）乘法和除法的情况 设正数x 近似值是x + ?x ，绝对误差?x 近似的等于x 1.1.3 算术运算的相对误差 的微分，即?x ≈dx. 相对误差为 (2) 加法和减法的情况 1.1.3 算术运算的相对误差 设x1和x2的近似值分别为 则 若x1和x2同号， 1.1.3 算术运算的相对误差 若x1的绝对值远大于x2的绝对值 ， 若x1和x2异号，且x1 和 - x2 相当接近时， 都很大， 原始数据的误差会对计算结果产生相当大的 影响。 有效数字位数和误差限之间的关系. 定义1.1.1 若近似值 的误差限不超过某一位的半个单位，该位到 的第一位非零的数字共有n位，则称 有n位有效数字，或者说 准确到该位. 若用 表示x 的近似值，并将 表示成 并且其误差限为 则称近似值 具有n位有效数字. 其中 ， 为0到9中的某一个数字且 m是一个整数. 1.1.4 有效数字 2 要避免两个相近的数相减 增加有效数字的位数；或变换计算公式，以防止误差增加. 3 两个相差很大的数进行运算时，防止大数“吃掉”小数 例如，求二次方程 的根.按分解因式可求出两个根为 . 若在计算机中，采用阶数为10的八位浮点数计算时，一个根为 ，另一个根为0. 1.2 算法设计中应注意的问题 1 简化计算步骤，减少运算次数 防止小数被“吃掉”，可增加浮点的位数或改变计算方法. 4 避免绝对值太小的数作除数 例如 线性方程组 的准确解为 . 在规格化三位浮点十进制数（仿机器实际计算）下，用消元法求方程组的解，上方程解为 . 解严重失真！ 但若将原方程组的两个方程次序调换得 1.2 算法设计中应注意的问题