数学物理方程学习指导书第8章贝塞尔函数案例.docVIP

第8章 贝塞尔函数 本章我们来讨论贝塞尔方程的解法以及解的性质. 下面将要看到，在一般的情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入了一类特殊函数，称之为贝塞尔函数，贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交性，这个正交性恰好是前面所述的施特姆-刘维尔理论的一个特例. 8．1 贝塞尔方程的求解 在7.1中，我们从解决圆盘的瞬时温度分布问题引出了贝塞尔方程，以表示自变量，表示未知函数，则阶贝塞尔方程为 (8.1) 其中为任意实数或复数. 由于方程的系数中出现的项，所以在讨论时，不妨暂先假定 ． 设方程(8.1)有一个级数解，其形式为 ， (8.2) 其中常数和可以通过把和它的导数代入(8.1)来确定. 将(8.2)及其导数代入(8.1)后得 化简后写成 要使上式成为恒等式，必须各个幂的系数全为零，从而得下列各式： 由得，代入得.现暂取，代入得 因为，由知而都可以用表示，即 ……………………………………………… 由此知(8.2)的一般项为 是一个任意常数，取定后就得(8.1)式的一个特解.我们把取作 ， 这样选取可使一般项系数中2的次数与的次数相同，并可以运用下列恒等式 使分母简化，这样选后，一般项的系数就整齐了 (8.3) 以(8.3)代入(8.2)得到(8.1)的一个特解 用级数的比值判别法（或称达朗倍尔判别法）可以判定这个级数在整个数轴上收敛. 这个无穷级数所确定的函数，称为阶第一类贝塞尔函数，记作 (8.4) 至此，我们就求出了贝塞尔方程的一个特解 当为正整数或零时，，故有 (8.5) 取时，用同样方法可得(8.1)式另一特解 (8.6) 比较(8.4)式与(8.6)式可见，只要在(8.4)的右端把换成，即可得到(8.6)式，因此不论是正数还是负数，总可以用(8.4)式统一地表达第一类贝塞尔函数. 当不为整数时，这两个特解与是线性无关的，由齐次线性微分主程的通解的结构定理知道，(8.1)的通解为 (8.7) 其中为两个任意常数. 当然，在不为整数的情况，方程(8.1)的通解除了可以写成(8.7)式以外还可写成其他的形式，只要能够找到该方程另一个与线性无关的特解，它与就可构成(8.1)的通解，这样的特解是容易找到的. 例如，在(8.7)中取则得到(8.1)的一个特解 整数） (8.8) 显然，与是线性无关的，因此，(8.1)的通解可写成 (8.7)’ 由(8.8)式所确定的函数称为第二类贝塞尔函数，或称牛曼函数. 8．2 当为整数时贝塞尔方程的通解 上一节说明，当不为整数时，贝塞尔方程(8.1)的通解由(8.7)或(8.7)’式确定，当为整数时，(8.1)的通解应该是什么样子呢？ 首先，我们证明当为整数时，与是线性相关的，事实上，我们不妨设为正整数（这不失一般性，因为负整数时，会得到同样的结果），则在(8.6)中，当时均为零，这时级数从起才开始出现非零项，于是(8.6)可以写成 即与线性相关，这时与已不能构成贝塞尔方程的通解了.为了求出贝塞尔方程的通解，还要求出一个与线性无关的特解. 取哪一个特解？自然我们想到第二类贝塞尔函数.不过当为整数时(8.8)的右端没有意义，要想把整数阶贝塞尔方程的通解也写成(8.7)’的形式，必须先修改第二类贝塞尔函数的定义. 在为整数的情况，我们定义第二类贝塞尔函数为 （=整数）. （8.9） 由于当为整数时，，所以上式右端的极限是形式的不定型的极限，应用洛必塔法则并经过冗长的推导（可参阅A.Ⅱ.萨波洛夫斯基著《特殊函数》，魏执权等译，中国工业出版社出版），最后得到 (8.10) 其中称为欧拉常数. 根据这个函数的定义，它确是贝塞尔方程的一个特解，而且与是线性无关的（因为当时，为有限值，而为无穷大）. 综合上面所述，不论是否为整数，贝塞尔方程(8.1)的通解都可表示为 ， 其中为任意常数，为任意实数. 8．3 贝塞尔函数的递推公式 不同阶的贝塞尔函数之间不是彼此孤立的，而是有一定的联系，本节我们来建立反映这种联系的递推公式. 首先考察零阶与一阶贝塞尔函数之间的关系. 在(8.5)中令及得： 取出第一个级数的第项求导数，得 这个式子正好是中含