期望、方差(周2).pptVIP

M=max(X,Y) 的概率密度为 fM(z)= 第四章 随机变量的数字特征 一、 数学期望 二、 方差 三、 协方差、相关系数 一、 数学期望 四、协方差矩阵和矩 一、离散型随机变量的数学期望 §1 数学期望 例如 一射手进行打靶练习,规定射入区域e2得2分,射入区域 e1得1分，射入区域 e0得0分,射手射击一次的得分数为X，X的分别律为 P{X=k}=pk,k=0,1,2,…… 现射击N 次,其中得0分有a0次, 得1分有a1次,得2 分有 a2次,求 该射手的平均得分数？ P(X=xk)=pk , k=1,2,… 如果级数 绝对收敛, 记为E(X), 1、定义 设X是离散型随机变量， 其分布律为: 的和为随机变量X的数学期望 则称级数 即 或均值, 例1 某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门. 若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望. 解答 离散型随机变量X 的数学期望 2、常见离散型随机变量的数学期望 (1) 设X～ ( ), 则E(X) (2) 设X～b (n , p), 则E(X)=np 特别地: 若 X ~ b( 1 , p ), 则 E(X) 离散型随机变量X 的数学期望 二、连续型随机变量的数学期望 设X是连续型随机变量， 1、定义 其概率密度 为f (x), 如果积分 则称积分 的值为随机变量X的 数学期望, 记为E(X) 即 例2 设随机变量X的概率密度为 求随机变量X 的数学期望E(X). 解答 连续型随机变量X 的数学期望 2、常见连续型随机变量的数学期望 (1) 若X~U(a,b), 则 (2)若X服从指数分布，其概率密度为 (3) 若X~ 注意: 不是所有的 r.v.都有数学期望. 例如：随机变量 X的密度函数为 它的数学期望不存在! (柯西(Cauchy)分布) 因为积分 是发散的。 例3 设X服从 上的均匀分布，求Y=sinX 的数学期望 三、随机变量函数的数学期望 定理 设Y是随机变量X的函数： Y=g(X)， （g是连续函数) X是离散型r.v. X是连续型r.v. 其中r.vX的分布已知， 则 解答 0.4 0.3 0.3 P -2 0 2 X 设Z是随机变量X,Y的函数： Z =g(X,Y)， （g是连续函数). 定理 若X,Y的联合分布律为: (i) 则有 E(Z )= E(g(X,Y))= 则有 (ii) 若X,Y的联合概率密度为f (x,y), E(Z )= E(g(X,Y))= 求:E(X), E(Y),E(XY), 例５ 设随机变量X,Y的联合分布律为 X Y -1 0 1 -1 0 1 例6 设随机变量X,Y的联合概率密度为 求 E(X) ，E(XY) 解答 四、数学期望的性质 则E(C)=C; 2. 若k是常数， 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y); 1. 设C是常数， 则E(kX)=kE(X); E(aX+bY) E(aX-bY) = a E(X)+b E(Y); = a E(X)-b E(Y); 则 E(XY)=E(X)E(Y); 4. 设X、Y独立， 例7 X~B(1,0.2)，求Y=2X+1的数学期望。 求E(Z) 例8 例9 若X~B(n,p)，求X的数学期望。 例10 （匹配问题） 在一次集会上，n 个人把他们的帽子混在一起，集会结束后，每人随机取一顶，令X表示正好拿到自己帽子的人数，求E(X) 解答 解答 解答 几个重要的 r.v. 函数的数学期望 -----------------X 的 k 阶原点矩 --------- X 的 k 阶中心矩 ---- X 的方差 -------X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 ------- X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 —— X , Y 的协方差 设打开门时试开的次数为X, 例1解: P{X=k}= k=1,2,…,n X的所有可能取值为： 1,2,…,n E(X) 于是 X的分布律为 P(X=k)= k=0,1,2,… (1) 设X～ ( ), 则E(X) 于是 E(X)= 例2 设随机变量X的概率密度为 求随机变量X 的数学期望E(X). E(X)= 解 （1）若X~U(a,b), 则 E(X)= X的概率密度为 X的数学期望为 （2）若X服从指数分布，其概率密度为 解: X ~U E(Y )