3.二维随机变量和其分布.ppt

概率论与数理统计 ----考研春季基础班 例 例3.2.2.设随机向量 X,Y 服从区域D上的均匀分布,其中 D x,y ,x2+y2≤1 ,求X,Y的边缘密度函数fX x 和fY y . 解: 1 由题意得: X Y -1 1 当|x| 1时,f x,y 0,所以,fX x 0 当|x|≤1时, 所以, 同理, 注意:均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布 例3.2.3 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 ⑴ 求随机变量X的密度函数； ⑵ 求概率P X+Y≤1 . 解: 1 x≤0时,fX x 0; x 0时,fX x 所以, ⑵ P X+Y≤1 y x x+y 1 1/2 二维正态分布 定义:如果 X,Y 的联合密度函数为 其中σ1,σ2为正数.则称 X,Y 服从参数为 的 二维正态分布,简记为 性质: 边缘分布分别为X~N μ1,σ12 , Y~ N μ2,σ22 ;与 无关。 可见，由边缘分布不能确定联合分布。 第3.3节、条件分布 一、条件分布律 设（X，Y）是离散型随机变量，对于固定的j,P Y yj 0,则称 为Y yj条件下X的条件分布律，记为P X|Y yj 同理，可有P Y|X xi 1、定义 2、性质 （1） P X|Y yj ?0 （2） 二、条件概率密度 设（X，Y）是二维连续型随机变量，其概率密度为f x,y 。对于固定的y，若f Y y 0,则称 为Y y条件下X的条件概率密度。 1、定义 2、性质 （1） （2） 三、条件分布函数 定义： 对给定的y，设对于任意固定的正数?，有 则切对于任意实数x,若极限 存在，则称此极限为在Y y下X的条件分布函数，记作 类似地可定义 离散型： 连续型： 第3.4节、相互独立的随机变量 1.定义:称随机变量X,Y相互独立,若对任意的x,y都有 特别: 若X与Y相互独立，则它们的连续函数g X 与h Y 也相互独立。 特别有:aX+b与cY+d相互独立. 2.性质: 例3.4.1.设 X,Y 服从区域D上的均匀分布,判断X,Y的独立性, 其中: 1 D x,y ,|x|≤1,|y|≤1 ; 2 D x,y ,x2+y2≤1 fX x |x|≤1 |x| 1 0 fY y 解: 1 同理, 所以,X,Y独立. 2 所以,X,Y不独立. 例3.4.2 设随机变量X，Y是相互独立的， 且X,Y等可能地取 0，1 为值，求随机变量Z max X,Y 的分布列。 解: X 0 1 P 1/2 1/2 Y 0 1 P 1/2 1/2 X,Y 的取值数对为 0,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1 , Z max X,Y 的取值为:0,1 P Z 0 P X 0,Y 0 P X 0 P Y 0 1/4 P Z 1 3/4 所以,Z的分布列为 Z 0 1 P 1/4 3/4 P X 0,Y 1 +P X 1,Y 0 +P X 1,Y 1 例3.4.3 已知随机向量 X,Y 的联合密度为 1 问X与Y是否独立？ 2 求概率P X Y . 解: 1 2 P X Y 所以, X, Y独立. 3. n个随机变量独立性的概念与性质 离散型随机变量X1,X2,…，X n相互独立等价于联合概率分布等于边缘概率分布的乘积。 连续型随机变量X1,X2,…，X n相互独立等价于联合密度函数等于边缘密度函数的乘积。 定义:称n个随机变量X1,X2,…，X n相互独立,若对任意 xi i 1,2,…，n , 有 F x1,x2,…,xn FX1 x1 …FXn xn 特别: 若n个随机变量X1,X2,…,X n相互独立,则它们中的任意 m 1 m≤n 个随机变量X i1,X i2,…,X i m也相互独立. 例3.5.1、 设随机变量X1与X2相互独立，分别服从二项分布B n1,p 和B n1,p ，求Y X1+X2的概率分布. 第3.5节、两个随机变量函数的分布 解 依题知X+Y的可能取值为0,1,2,...,n1+n2,因此对于k k 0,1,2,...,n1+n2 ，由与独立性有 由 得 所以Y X1+X2服从二项分布B n1+n2,p 二项分布的可加性 化成累次积分,得 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令x u-y,得 变量代换 交换积分次序 由概率密度与分布函数的关系, 即得Z X+Y的概率密度为: 由X和Y的对称性, fZ z 又可写成 以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式. 结论: 两个独立的连续型随机变量的和仍为连续型随机变量. 即:若X,Y独立，X~fX x ,Y~fY y ,Z X+Y,则 卷 积