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交通运输与折射定律 作者：王子越 学号：0座机电话号码 序号：I-16-B 院系：机械工程学院 专业：机械工程及自动化 E-mail:1座机电话号码0@ 摘要：目前社会物理学研究范围正在逐步扩大。人们越来越清晰地认识到物理学定律在社会生活中具有普遍的使用规律。本文正是此观点的一个印证，运用物理学的折射定律来对水路之间交通运输费用进行实证研究。折射定律是运输路线研究和决策的一个重要指南，并且对光学中的反射定律、焦距及其他的思想进行研究都可能对社会经济有益。 关键词：社会物理学 交通运输 折射定律 引言：本文首先提出问题，然后用数学方法进行理论计算，之后采用经济学方法做深入分析和验证，得出结论，最后通过分析引出折射定律在社会生活中的应用。 如图（1）所示，假设要将单位重量的货物从A地经过水路，在经过公路运输到B地。图中CD代表具有一些可供转载的港口的一段水路交界线。运输要求是将货物从A运到B地所需的总成本最低。进一步临时性的假设是CD线上所有港口的转载适宜性相同。 一、用数学方法求解 通过数学的理论计算可以得到想要的结果。如图（4）所示，用c代表水路运输费用率（每单位距离的成本）；L代表公路运输费用率。总运输成本T可以计算得出： ① 在此方程式表达中，E和转载港口之间的距离是唯一自变量。因此当关于x的一阶导数等于0时，总运输成本T将达到最小。 ，且已知,即 ② 二、用经济学方法验证 上述结论的正确性可以利用经济学方法进行实际的验证。图（2）表示A、B两地间通过CD线上每一个港口的水陆交通组合路线的曲线（根据实际测量和位置关系大致描点绘制而成）。曲线上所标注的点对应于图（1）各点。其中I点对应图（1）中的水路最短距离，在图（2）中对应于竖轴的最低点（200）；E点对应图（1）中的公路最短距离，在图（2）中对应于横轴最左边的点（300）。图（2）不仅描述了水路和公路运输距离的组合方式，而且还刻画出了各种相同成本路径。沿用上述字母表示，假设可支付成本为a,公路距离m,水路距离n,则L，W，a的关系可以表示为Lm+Wn a.在图（二）中表示为一条向下倾斜的直线，此线在经济学中被命名为等成本曲线，表示公路运输费用率和水路运输费用率分别为L和M的情况下，支付a的运输成本可以选择的公路和水路距离的各种组合。其中，直线的斜率表示水路与公路的运输费用率之比，而截距则刻画出总成本的大小。如果总成本太小（如直线Ⅰ所示，表现为与曲线没有交点），则运输费用不可能实现两地的运输任务；如果总成本太高（如直线Ⅲ所示，表现为与曲线有两个交点），则任务可以实现，但不是最佳路径，因为直线下方还存在点，而这些点花费的成本显然更少。 等成本理论告诉我们，当等成本曲线与路径曲线相切使得两者只有唯一交点时，此交点即是最佳港口。因此，通过使两条曲线斜率相等，可以确定最佳位置。结合图（4）可知： 公路距离水路距离 则路径曲线的斜率 ③ 而等成本曲线的斜率k - ④ 通过使③式和④式相等，可以找到最佳港口，即当时，花费运输成本最少。对比②式可知，理论结果得到验证。 三、结论 当角度α的正弦值与角度β的正弦值之比等于公路运输费用率和水路运输费用率之比时，总运输成本达到最小。而角度满足上述关系的港口即是最佳港口。 四、结果分析及讨论 通过以上分析，可以知道，此实际问题中，F’点为最佳港口。如图（3）所示，AF’B即为花费成本最少的最佳路径。分析②式可知，当运输起始点和终点确定的情况下，成本大小取决于两种路径运输费用率之比。 上述所讨论的水路和光路交叉点的运输方式选择极其类似于：当光线或声音穿过具有不同速度的两种介质的相交面时，发生波阵面突然变化而形成的折射情景。此案例中的运输费用率相当于光学中的折射率，而满足最小成本的表达式就是几何光学中著名的折射定律。 我们知道，光