集合and不等式好题讲解1.doc

第一章 集合与命题 考点综述 集合与命题是高中数学的基石，高考对这部分知识的考查主要有三个方面：一是集合的概念、关系和运算；二是集合语言与集合思想的运用（如求方程与不等式的解集、函数的定义域和值域等）；三是命题之间的逻辑关系的判断和推理．此外与集合有关的信息迁移题、集合与其他知识相结合的综合题都值得高度关注.考查重点是集合与集合之间的关系、条件的判断.其核心考点有：集合的概念及相应关系，集合的运算，命题及充要条件． 考点1 集合的概念及相应关系 典型考法1 与含参数的方程有关的集合已知集合 1 若A是空集，试求a的取值范围； 2 若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； 3 若A中至多只有一个元素，求a的取值范围． 集合A是方程在实数范围内的解集． 1 若A是空集，则a≠0，且方程无解，得，即a的取值范围是． 2 当a 0时，，符合题意；当a≠0时，必须，，此时，符合题意； 综上所述，或． 3 A中至多只有一个元素，包括A是空集和A中只有一个元素这两种情况，根据 1 和 2 的结果，知a 0或，故a的取值范围是． ，其中，，均为实数， 当a≠0时，是一元二次方程中的元素之和，则应分与这两种情形，具体为 1 若，则有两个不等的实根，于是，非空集合 中的元素之和为； 2 若，则有两个相等的实根，于是，非空集合 中的元素之和为．1． 已知为单元素集，的取值的集合．2．3．对于函数f x ，设，． 求证：； 2 若，且，求a的取值范围． . 2．当b≠0时，和为－ b+2 ；当b 0时，和为－1．3． 1 2 提示：知 ，中元素是方程实根，由得方程要么没有实根，要么实根是方程的根或，故的取值范围是． 设． 1 属于的两个整数，其积仍属于 2 、、是否属于，请说明理由． 1 设，则，，， ，，且，从而，即属于的两个整数，其积仍属于． 2 ． 假设，则存在整数，使，即，由于为偶数，注意到与具有相同的奇偶性，所以均为偶数，其乘积应是4的倍，但不是4的倍，导致矛盾，故假设不成立，即． ，通常应是将运算后得到的结果化为集合中元素所有的特征形式．，通常用反证法． 对任意均中，而不中．满足：当时，有．给出如下三个命题：①若，则；②若，则；③若，则．其中正确命题的个数是……………………………………………………………………（　　）. A．0 B．1 C．2 D．3 ． 1 如果，那么是否为的元素，请说明理由； 2 当且时，证明：可表为两个有理数的平方和． 3．已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：， ．其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．若对于任意的，总有，则称集合具有性质． （I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和； （II）对任何具有性质的集合，证明：； （III）判断和的大小关系，并证明你的结论． D . 2． 1 ; 2 证略． 注：任意一个有理数均可表示成（其中为整数且）的形式． 3．（I）集合不具有性质．集合具有性质，其相应的集合和是，． （II）证：由中元素构成的有序数对共有个当时，．从而，集合中元素的个数最多为，即． （III）：对于，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．故与也是的不同元素．可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，． 设为集合的，，则称为集合的元“好集”． 1 写出实数集的一个二元“好集”； 2 求出正整数集的所有三元“好集” 3 证明：不存在正整数集的元“好集”． 1 ，，等． 2 当时，，不妨设，则由可得，，，，注意到且，故，． 因此，正整数集的三元“好集”； 3 当时，不妨设中的最大元素为，则依题设条件，得 ………………（※）， 故 ， 即有，则．又因为，所以有 ， 即，但另一方面， ， 即，矛盾！也就是说，当时，满足条件的集合不存在． 必杀技 　充分利用所给条件 1．深刻理解概念并其中所给出条件； 2．．不漏是的一种情况．不存在正整数集的二元“好集” 的子集为的第个子集，其中，则 1 是E的第 个子集； 2 的第211个子集是． ，，当时，则实数的取值范围是 ． ，集合满足则与的关系为 ． 参考答案 1． 1 15 ; 2 . 2． . 提示：（对应地）也符合条件． 3．. 提示：易得，且．现设任意，则，即有或．若但，则且，这与相违．同理可证得：若但，则仍与相违．总之，，从而，于是． 典型考法2 集合中的图形 典型例题 设，， ，问是否存在实数，使得同时满足，且． 假设存在实数a ，b使得同时满足与且，由满足得，存在整数m与n使得 n,na+b m,3m2+15 ，即n m且na+b 3m2+15，消去m得na+b- 3n2+15