计算机数学基础-回答学生问题(数值分析).doc

问题回答 师范部 冯泰 近来学生通过电子邮件进行答疑，我们作了回答，发去了E－mail。现将问题以及答案，放在网上，供同学们参考。 原问题1：关于教材第136页练习12.4 A 的第1题： 原题为：已知函数y ex，的函数值 x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y ex 12.1825 13.4637 14.8797 16.4446 18.1741 取步长h 0.2，用二点求导公式计算x＝2.7处的导数值。 解答：二点的导数公式为 因为要求用二点求导公式，且h 0.2，故可以用的值有 x 2.5，y 12.1825；x 2.7，y 14.8797和x 2.9，y 16.1741 用公式 1 ，即取x 2.7，y 14.8797和x 2.9，y 16.1741，有 用公式 2 ，即取x 2.7，y 14.8797和x 2.5，y 12.1825，有 取它们的平均，有 说明： 1 . 本题给的信息比较多，尽量多用一些，于是又取了一次平均，有 书末答案 2 因为要求h 0.2，所以，x 2.6和x 2.8的函数值是不能用上的。 当然，考试时不能出这样的题目，因为学生会不知该用公式 1 ，还是用公式 2 。用两个公式计算的结果都是正确的。 原问题2： 在用四舍五入的方法取有效数字时，如取五位有效数字，是只看左起第6位四舍五入呢，还是也要看更后边的数？ 如求x* 9.12745…有四位有效数的近似值，是得x 9.127对还是得x 9.128对？ 解答 用四舍五入的方法求一个数的近似值，取到有效数字的那个位，只看下一位，是“4”以下舍去；是“5”以上入上1．与再下一位无关． 本题得x 9.127正确． 如果考虑再下一位，是“5”，“7”的下一位是4，进成“5”，于是得到 x 9.128．这是错误的． 我们来计算一下误差． e x－x*＝9.127－9.12745…＝－0.00045… 只需取 ＝0.0005，有 e 0.0005 0.5×10－3 0.5×101－4，可见x 9.127有四位有效数字． 再看x 9.128，e x －x* 9.128－9.12745… 0.00055…． 需要取 ＝0.005，有 e 0.005 0.5×10－2 0.5×101－3，可见x 9.128只有三位有效数字． 再重复一遍，用四舍五入的方法求一个数的近似值，取到有效数字的那个位，只看下一位，是“4”以下舍去；是“5”以上入上1．与再下一位无关． 原问题3：高斯－勒让德求积公式只限于讨论在区间[－1，1]的积分吗？ 解答：是的．高斯－勒让德求积公式的求积节点和系数都是已给定的，所给节点都是在区间[－1，1]内的，所以用这些节点和系数时，必须是考虑在[－1，1]区间上． 但是高斯－勒让德求积公式又可以求有限区间上的积分问题．如近似定积分dx．必须将有限区间作积分变换化为[－1，1]上的定积分．在教材上作了说明．作变换 ，即，当x a时，t －1,x b时，t 1,于是 这个公式并不难记，它正是过 a,－1 和 b,1 两点的直线方程，此处t替换了y 如用高斯－勒让德求积公式计算积分 ，a 0，b 1，易得，于是有 此时的被积函数是，而不是． 原问题4：在录像课上，可能是复习课，有一个证明题，将拉格朗日插值基函数l0 x 展成牛顿插值多项式，因为录像课讲的比较快，能再讲讲吗？ 解答：是不是这样一个题目： 设是以节点x0,x1,…,xn为插值点的拉格朗日插值基函数，试证明 证明 作l0 x 的牛顿插值多项式，首先求各阶均差． 易知， 一阶均差： 二阶均差： 三阶均差： … … … … … … n阶均差： 作l0 x 的牛顿插值多项式，有 1 2