二次型和正定矩阵.docVIP

二次型 2007-029-8 设是实矩阵，E为n级单位矩阵。已知矩阵 证明：当时，矩阵B为正定矩阵。 2007-029-9 已知二次曲面方程为（1）求正交变换把该二次曲面的方程化为标准形；（2）上述二次曲面的方程表示何种曲面？ 2007-008-8 已知矩阵 求二次型; 用正交线性替换化二次型为标准型; 证明定义了上的内积,其中是的列向量,是的转置,并求在该内积下的一组标准正交基. 求实对称矩阵B使得,其中k为正整数 只要写出B的表达式,不必计算其中的矩阵乘积 2007-021-7 2007-012-2 求实二次型 的规范形及符号差。 2007-001（A）-1 化二次型为标准型,并给出所用的非退化线性替换. 2007-030-2（3）（填空题） 已知实二次型的正负惯性指数都是1，则 . 2007-030-3（6）（计算与证明题） 设是级实对称矩阵，是正定矩阵，证明是可逆矩阵。 2007-031-6 设为阶正定矩阵，为实维非零列向量，当时有，证明： 线性无关. 2007-031-9 用正交线性替换将二次型 化为标准型. 2007-032-1（3）（判断题） 两个对称矩阵之积仍是对称矩阵。 2007-032-6 设是阶正定矩阵，证明它的行列式的主对角线元素之积，等式成立当且仅当的对角阵。 2007-032-7 设是实欧氏空间的一组向量，证明这组向量线性无关当且仅当它们的矩阵可逆，其中。 2007-033-3 给出将化为标准形的正交线性替换。 2007-034-4 设为阶正交矩阵且-1不是的特征值。证明是反对称矩阵且。 2007-034-6 设为阶实正定对称矩阵，为阶实反对称矩阵。证明的行列式。 2007-035-1（14）（选择、是非及填空题） 设，则使正定的实数的取值范围是 。 2007-035-2（20）（计算与证明题） 设为正定矩阵，其中为阶方阵，为阶方阵，为矩阵。证明：与都是正定矩阵。 2007-035-2（22）（计算与证明题） 设为正定矩阵，证明：存在唯一的正定矩阵，使。 2007-036-4 设为实二次型，且存在，使，请证明：存在，使得。 2007-019-4 证明任意阶实可逆阵可以表成一个正定阵与一个正交阵之积。 2007-037-7 设为阶实对称矩阵，证明必存在数使得为半正定而非正定，这里表示阶单位矩阵。 2007-037-11 （1）用非退化线性替换将下面二次型化为标准形，并确定其秩和符号差： （2）取什么值时，二次型 为正定的？ 2007-038-3 用正交化二次型为标准形。并写出所作的正交变换。 2007-038-8 若是实对称矩阵，证明：存在对称矩阵，使得。并对二阶方阵。求出一个满足上面条件的矩阵。 2007-040-6 试将划为标准形，求出变换矩阵，并指出满足什么条件时，正定。 2007-040-7 设都是正定实对称矩阵，证明：（1）正定的充要条件是。（2）如果正定，则也是正定。 2007-041-6 设均是阶实对称矩阵，且正定，证明（ⅰ）的根是实数;（ⅱ）设的根为，且，则（是的转置）在约束条件下下的最大值和最小值分别为。 2007-041-8 设，其中是实数，问满足什么条件时，二次型是正定的？ 2007-043-4 设一个二次曲面在直角坐标系下的方程为 ，求一个正交直角坐标变换： 使得以上二次曲面在新的直角坐标下的方程为它的标准形，然后描述此二次曲面。 2007-043-4 设为一个阶正定矩阵，为一个阶反对称矩阵，即满足：。 证明：存在阶实可逆矩阵使得，其中表示矩阵的转置矩阵。 证明：的特征值或者是0或者是纯虚数。 证明：为可逆矩阵。 2007-044-7 设是一个实对称矩阵，是的最大特征值。证明：。 2007-013-2 （1）证明：任意阶方阵均可表示成一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和； （2）设是阶实方阵，且对任意的非零列向量，都有。证明：存在正定矩阵和反对称矩阵使得。 2007-018-3 设，，。问是否是一个正定二次型，为什么？ 2007-018-6 设阶矩阵对于任意的维列向量满足。（ⅰ）证明当为对称矩阵时，（ⅱ）如果矩阵不是对称的，未必是零矩阵。 2007-018-9 设为阶实对称矩阵，试求正交矩阵，使得为对角形矩阵，并求。 2007-018-10 证明（1）阶实反对称矩阵的特征根为纯虚数或者为零，（2）阶实反对称矩阵的行列式大于等于零。 2007-013-9 证明下述阶实矩阵是正定矩阵： 2007-007-1（9）（填空） 设是级实对称矩阵，则为正定矩阵的充分必要条件是 。 2007-007-7 设实二次型的系数矩阵为，若，证明：必存在一组实数，使。 2007-046-7 设为一实对称阵，若是半正定的，则的一切主子式其中且。 2007-004-5 设是实对称矩阵，如果是半正定的，则存